Verified answer

5)

[tex]\cos2x+5\cos x+3\geqslant0[/tex]

[tex]2\cos^2x+5\cos x+2\geqslant 0[/tex]

Замена: [tex]\cos x=t,\ t\in[-1;\ 1][/tex]

[tex]2t^2+5t+2\geqslant 0[/tex]

[tex]2t^2+5t+2=0[/tex]

[tex]t_1=-2;\ t_2=-\dfrac{1}{2}[/tex]

Собственно, дальше. Дальше дорешиваем неравенство методом интервалов относительно t:

[tex]t\in(-\infty;-2]\cup\left[-\dfrac{1}{2} ;\ +\infty\right)[/tex]

Это решение можно переписать в виде совокупности, одновременно выполнив обратную замену:

[tex]\left[\begin{array}{l} \cos x\leqslant -2 \\ \cos x\geqslant -\dfrac{1}{2} \end{array}\right.[/tex]

Поскольку косинус принимает свои значения из отрезка от -1 до 1, то первое неравенство не имеет решений.

Остается неравенство:

[tex]\cos x\geqslant -\dfrac{1}{2}[/tex]

Решить его удобнее всего на окружности.

Отметим на оси х, которая соответствует значениям косинуса, точку -1/2 (фиолетовая точка). По условию, нас интересуют значения косинуса, большие или равные -1/2 (фиолетовый отрезок). Найдем дугу, которая соответствует этим значениям косинуса (зеленая дуга).

На окружности есть две точки, в которых косинус равен -1/2 (красные точки). Учитывая знак неравенства, запишем:

[tex]-\dfrac{2\pi }{3} \leqslant x\leqslant \dfrac{2\pi }{3}[/tex]

Говоря точнее, точек было не две, а две серии (графически, это по-прежнему две точки). Учитывая периодичность косинуса следует записать:

[tex]\boxed{-\dfrac{2\pi }{3}+2\pi n \leqslant x\leqslant \dfrac{2\pi }{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}}[/tex]

6)

[tex]0 < \cos x\leqslant \dfrac{\sqrt{2} }{2}[/tex]

Вновь ищем решение на окружности.

Отметим на оси х точки 0 и [tex]\dfrac{\sqrt{2}} {2}[/tex]. Нас интересуют значения косинуса, большие 0, но меньшие или равные [tex]\dfrac{\sqrt{2}} {2}[/tex]. Найдем, какие дуги соответствуют этому условию.

На окружности есть две серии точек, в которых косинус равен 0, и две серии точек, в которых косинус равен [tex]\dfrac{\sqrt{2}} {2}[/tex].

Записываем решение:

[tex]\boxed{x\in\left(-\dfrac{\pi}{2} +2\pi n;\ -\dfrac{\pi }{4} +2\pi n\right]\cup\left[\dfrac{\pi }{4} +2\pi n;\ \dfrac{\pi}{2} +2\pi n\right),\ n\in\mathbb{Z}}[/tex]