Решение.

1)  Интегрирование с помощью замены ( или подведение под знак дифференциала) .

[tex]\displaystyle \bf \int\limits^{\sqrt3}_{1}\, \frac{32x\, dx}{(x^2+1)^5}=\Big[\ u=x^2+1\ ,\ du=2x\, dx\ \Big]=\\\\\\=16\int \frac{2x\, dx}{(x^2+1)^5}=16\int \frac{du}{u^5}=16\cdot \frac{u^{_4}}{-4}+C=-\frac{4}{(x^2+1)^4}+C[/tex]  

2)  Подведение под знак дифференциала.

[tex]\displaystyle \bf \int\limits^{\frac{2\pi }{3}}_{0}\, cos\frac{x}{2}\, dx=\Big[\ d(\frac{x}{2})\ ,\ du=\frac{1}{2}\, dx\ \Big]=2\int cos\frac{x}{2}}\cdot d(\frac{x}{2})=2\, sin\frac{x}{2}\Big|_0^{\frac{2\pi }{3}}=\\\\\\=2\Big(sin\frac{\pi }{3}-sin0\Big)=2\Big(\frac{\sqrt3}{2}-0\Big)=\sqrt3[/tex]