Нам дали ограничения на аргумент, то есть мы работает в четвёртой четверти, там синус отрицательный, а косинус положительный. Вот почему я выбрали из двух синусов отрицательный и из двух косинусов положительный

[tex]1+\mathrm{ctg}^2a=\frac{1}{\sin^2a}\Rightarrow \sin^2a=\frac{1}{1+\mathrm{ctg}^2a}=\frac{1}{1+5}=\frac{1}{6}\overset{3\pi/2 < a < 2\pi}{\Rightarrow }\\\Rightarrow \sin a=-\frac{1}{\sqrt{6}}\Rightarrow \cos a=\sqrt{1-\sin^2a}=\sqrt{\frac{5}{6}}\Rightarrow \mathrm{tg}a=-\frac{1}{\sqrt{6}}:\sqrt{\frac{5}{6}}=-\frac{1}{\sqrt{5}}[/tex]