Решение.

Обозначим боковые стороны через  a  и  b ,  b-a=23 .

Пусть отрезок основания в 21 см  прилегает к стороне  а , а отрезок в 48 см прилегает к стороне b .

Выразим высоту h треугольника, опущенную на основание с . Используем теорему Пифагора для двух прямоугольных треугольников , у которых есть общий катет h

[tex]\left\{\begin{array}{l}h^2=a^2-21^2\\h^2=b^2-48^2\\b-a=23\end{array}\right\ \ \left\{\begin{array}{l}a^2-21^2=b^2-48^2\\b-a=23\end{array}\right\ \ \left\{\begin{array}{l}b^2-a^2=48^2-21^2\\b-a=23\end{array}\right\\\\\\\left\{\begin{array}{l}(b-a)(b+a)=(48-21)(48+21)\\b-a=23\end{array}\right\ \ \left\{\begin{array}{l}23\, (b+a)=27\cdot 69\\b-a=23\end{array}\right[/tex]

[tex]\left\{\begin{array}{l}b+a=81\\b-a=23\end{array}\right\ \oplus \ominus \ \left\{\begin{array}{l}2b=104\\2a=58\end{array}\right\ \ \left\{\begin{array}{l}b=52\\a=29\end{array}\right[/tex]

Нашли стороны, теперь найдём высоту h , опущенную на основание  с=21+48=69 и площадь треугольника .

[tex]h^2=a^2-21^2=29^2-21^2=(29-21)(29+21)=8\cdot 50=400\\\\h=20\\\\S=\dfrac{1}{2}\cdot a\, h=\dfrac{1}{2}\cdot 69\cdot 20=690[/tex]

Отdет:  S=690 см²  .