Ответ:

(см. объяснение)

Пошаговое объяснение:

E:

[tex]\sqrt{x+1}-\sqrt{x-2}\le1[/tex]

Умножая неравенство на сопряженное, получаем:

[tex]\sqrt{x+1}+\sqrt{x-2}\ge3[/tex]

Здесь важно отметить, что наш множитель положителен, поэтому знак неравенства был сохранен.

Рассмотрим монотонную функцию [tex]f(x)=\sqrt{x+1}+\sqrt{x-2}[/tex], определенную при x[tex]\ge[/tex]2.

Она будет возрастающей, как сумма возрастающих функций и => может принимать значение 3 не более, чем в одной точке, которая легко угадывается и является [tex]x_0=3[/tex]. После этой точки (x>3) все значения функции больше 3, так как мы показали, что она возрастающая. До этой точки, то есть на отрезке [2; 3], значения функции соответственно меньше трех.

Тогда несложно заметить, что решение неравенства имеет вид [tex]x \ge 3[/tex], то есть [tex]x\in[3;\;+\infty)[/tex].

C:

[tex]\sqrt{x^2-x-12} < x[/tex]

Несложно увидеть, что если [tex]x[/tex] отрицательный, неравенство не имеет решений. Действительно, слева у нас корень, который дает неотрицательное значение. А оно никак не может быть меньше отрицательного. Более того, если [tex]x=0[/tex], то лучшее, что могло бы произойти - это [tex]0 < 0[/tex], что тоже неверно. Если же [tex]x[/tex] положительный, то тогда возведение в квадрат обеих частей неравенства даст равносильное неравенство при условии, что мы учтем ОДЗ корня.

Откуда замечаем, что в общем случае верно:

[tex]\sqrt{f(x)} < g(x)\; \Leftrightarrow\;\left\{\begin{array}{c}f(x) < g(x)^2\\f(x)\ge0\\g(x) > 0\end{array}\right;[/tex]

Ну и для нашего случая:

[tex]\left\{\begin{array}{c}x+12 > 0\\x^2-x-12\ge0\\x > 0\end{array}\right,\;\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{c}(x+3)(x-4)\ge0\\x > 0\end{array}\right,\;\Leftrightarrow\;x\ge4[/tex]

Задание выполнено!