Ответ:

a) Ответ:  [3; +∞)

b) Ответ: [tex]\displaystyle \left[-2;\frac{ -15+\sqrt{5} }{10}\right][/tex]

c) Ответ: [2; 3]

Пошаговое объяснение:

Решить неравенства:

[tex]\displaystyle a)\;\sqrt{x^2-9} < x+2[/tex]

Сначала ОДЗ.

Подкоренное выражение неотрицательно.

х² - 9 ≥ 0

(х - 3)(х + 3) ≥ 0

[tex]+++[-3]---[3]+++[/tex]

x ∈ (-∞;-3] ∪ [3; +∞)

Так как левая часть неотрицательная и меньше правой части, то правая часть должна быть только положительной.

х + 2 > 0 ⇒ x > -2

x ∈ (-2; + ∞)

⇒ D(y) = [3; +∞)

Теперь можем возвести в квадрат обе части:

[tex]\displaystyle x^2-9 < x^2+4x+4\\-4x < 4+9\;\;\;|:(-4)[/tex]

• Если обе части неравенства умножить или разделить на отрицательное число, знак неравенства перевернется.

[tex]\displaystyle x > -\frac{13}{4} \\\\x > -3\frac{1}{4}[/tex]

Объединим с ОДЗ.

Ответ:  [3; +∞)

[tex]b)\;\sqrt{-2-3x-x^2}\geq 2x+3[/tex]

ОДЗ: -2 - 3х - х² ≥ 0

-(х² + 3х + 2) ≥ 0

х₁ = -1;   х₂ = -2

[tex]---[-2]+++[-1]---[/tex]

x ∈ [-2; -1]

Левая часть неотрицательна и больше правой части. Здесь может быть два варианта:

1)

[tex]\begin{equation*}\;\;\;\;\;\begin{equation*} \begin{cases}2x+3 < 0 \\-2-3x-x^2\geq 0 \end{cases}\end{equation*} \begin{cases} x < -1,5 \\-2\leq x\leq -1 \end{cases}\;\Rightarrow \;-2\leq x < -1,5\end{equation*}[/tex]

2)

[tex]\begin{equation*}\;\;\;\;\;\begin{equation*} \begin{cases}2x+3 \geq 0 \\-2-3x-x^2\geq (2x+3)^2 \end{cases}\end{equation*} \begin{cases} x \geq -1,5 \\-2-3x-x^2\geq 4x^2+12x+9\end{cases}\\[/tex]

[tex]\begin{equation*}\;\;\;\;\;\begin{equation*} \begin{cases}2x+3 \geq 0 \\-2-3x-x^2\geq (2x+3)^2 \end{cases}\end{equation*} \begin{cases} x \geq -1,5 \\-2-3x-x^2\geq 4x^2+12x+9\end{cases}\\[/tex]

Решим второе неравенство:

[tex]\displaystyle -2-3x-x^2-4x^2-12x-9\geq 0\\\\-5x^2-15x-11\geq 0\;\;\;|:(-1)\\\\5x^2+15x+11\leq 0\\[/tex]

Решим методом интервалов:

[tex]\displaystyle 5x^2+15x+11=0\\\\D=225-220=5;\;\;\;\;\;\sqrt{D}=\sqrt{5} \\\\x_1=\frac{-15+\sqrt{5} }{10}\approx -1,3;\;\;\;\;\;x_2=\frac{-15-\sqrt{5} }{10} \approx -1,7[/tex]

[tex]+++[\frac{-15-\sqrt{5} }{10}]--- [\frac{-15+\sqrt{5} }{10}]+++[/tex]

Получим:

[tex]\begin{cases} x \geq -1,5 \\\displaystyle \frac{-15-\sqrt{5} }{10}\leq x\leq \displaystyle \frac{-15+\sqrt{5} }{10} \end{cases}[/tex]     [tex]\displaystyle \Rightarrow \;\;\;-1,5\leq x\leq \frac{-15+\sqrt{5} }{10}[/tex]

Решением системы будет савокупность неравенств:

[tex]\displaystyle \left [ {{-2\leq x < 1,5} \atop {-1,5\leq x\leq \displaystyle \frac{-15+\sqrt{5} }{10} }} \right.[/tex]

Ответ: [tex]\displaystyle\bf \left[-2;\frac{ -15+\sqrt{5} }{10}\right][/tex]

[tex]c)\;\sqrt{x^2-x-2}\leq x-1[/tex]

ОДЗ:

[tex]\displaystyle \left \{ {{x^2-x-2}\geq 0 \atop {x-1\geq 0}} \right.[/tex]

Решим первое неравенство методом интервалов.

х² - х - 2 = 0

х₁ = 2;     х₂ = -1

[tex]+++[-1]---[2]+++[/tex]

x ∈ (-∞; -1] ∪ [2; +∞)

Решение второго неравенства:

х ≥ 1 или х ∈ [1; +∞)

⇒ D(y) =  [2; +∞)

Возведем в квадрат обе части неравенства:

[tex]\displaystyle x^2-x-2\leq x^2-2x+1\\\\-x+2x\leq 1+2\\\\x\leq 3[/tex]

Объединим с ОДЗ.

Ответ: [2; 3]