Ответ:

[tex]\bold {x = \frac{\pi }{4}}[/tex]

[tex]\bold {x = \frac{7\pi }{4}}[/tex]

Объяснение:

----------------------------------------------------------------------------------------------------------

ЗАДАНИЕ: Решить уравнение [tex]-2sin(x + \frac{\pi }{2} ) = -\sqrt{2}[/tex] на промежутке (0;2π)

----------------------------------------------------------------------------------------------------------

Мы знаем, что [tex]sin(x + \frac{\pi }{2} ) = cosx[/tex]. Почему так?

Для ответа на вопрос применим формулу суммы синусов:

[tex]sin(\alpha + \beta ) = sin\alpha *cos\beta + cos\alpha *sin\beta[/tex]

Тогда:

[tex]\bold {sin(x+\frac{\pi }{2})} = sinx*cos\frac{\pi }{2} + cosx * sin\frac{\pi }{2} = sinx * 0+ cosx * 1 = \bold {cosx}[/tex]

Получается, что:

[tex]-2sin(x + \frac{\pi }{2} ) = -\sqrt{2} \\-2 cosx = -\sqrt{2} \ |*(-1)\\2cosx=\sqrt{2} \\cosx= \frac{\sqrt{2} }{2}[/tex]

[tex]x_{1} =- \frac{\pi }{4} + 2\pi n, \ n \in Z[/tex]

[tex]x_{2} = \frac{\pi }{4} + 2\pi n, \ n \in Z[/tex]

Произведем с помощью числовой окружности отбор корней, принадлежащих промежутку (0;2π).

[tex]x = \frac{\pi }{4}[/tex]

[tex]x = \frac{7\pi }{4}[/tex]