Ответ:

[tex]\dfrac{3\pi }{16} +\dfrac{\pi k}{2} ,~k\in\mathbb {Z}.[/tex]

Объяснение:

Используя метод вспомогательного угла показать, что уравнение

[tex]sin4x-cos4x=\sqrt{2}[/tex]

можно привести к виду  [tex]sin \left(4x- \dfrac{\pi }{4} \right)=1[/tex]

Записать общее решение уравнения [tex]sin4x-cos4x=\sqrt{2}[/tex]

Разделим обе части данного уравнения на  [tex]\sqrt{2}[/tex]

[tex]sin4x-cos4x=\sqrt{2}|:\sqrt{2} ;\\\\\dfrac{1}{\sqrt{2} } \cdot sin4x -\dfrac{1}{\sqrt{2} } \cdot cos 4x =\dfrac{\sqrt{2} }{\sqrt{2} } ;\\\\\dfrac{\sqrt{2} }{2} \cdot sin4x -\dfrac{\sqrt{2} }{2} \cdot cos 4x =1[/tex]

Так как [tex]sin \dfrac{\pi }{4} =\dfrac{\sqrt{2} }{2}[/tex]     и   [tex]cos \dfrac{\pi }{4} =\dfrac{\sqrt{2} }{2}[/tex] , то  уравнение запишем в виде

[tex]sin4x\cdot cos \dfrac{\pi }{4} -cos4x \cdot sin \dfrac{\pi }{4}=1[/tex]

Воспользуемся формулой

[tex]sin ( \alpha -\beta )= sin\alpha \cdot cos\beta -cos\alpha \cdot sin\beta[/tex]

и получим

[tex]sin \left(4x- \dfrac{\pi }{4} \right)=1[/tex]

Решим данное уравнение

[tex]4x- \dfrac{\pi }{4} =\dfrac{\pi }{2} +2\pi k,~k\in\mathbb {Z};\\\\4x= \dfrac{\pi }{4} +\dfrac{\pi }{2} +2\pi k,~k\in\mathbb {Z};\\\\4x= \dfrac{3\pi }{4} +2\pi k,~k\in\mathbb {Z};\\\\x= \dfrac{3\pi }{16} +\dfrac{\pi k}{2} ,~k\in\mathbb {Z}.[/tex]

#SPJ1