Найти наибольшее и наименьшее значение функции y=x-(1/3)x^3 на промежутке [-2;0]​.

Ответ:

Г - наибольшее значение функции на промежутке [-2;0] равно (2/3).

Объяснение:

Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на заданном промежутке:

1. Находим критические точки.
2. Вычисляем значения функции в критических точках, которые принадлежат заданному промежутку и в крайних точках промежутка.
3. Выбираем наибольшее и наименьшее из них.

Найдём критические точки, которые принадлежат заданному промежутку:

[tex]\Large \boldsymbol {} y =x-\frac{1}{3}x^3 \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:y=f(x)\\\\f'(x)=(x-\frac{1}{3}x^3)'=1-\frac{1}{3} *3x^{3-1}=1-x^2\\\\1-x^2=0\\\\x^2=1\\\\x=\±\sqrt{1} \\\\x_1=1\notin[-2;0]\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:x_2=-1\in[-2;0][/tex]

Единственная критическая точка, которая принадлежит промежутку [-2;0] - х=(-1). Находим значение функции в этой критической точке и крайних точках промежутка, тоесть f(-1), f(-2) и f(0).

[tex]\Large \boldsymbol {} f(-2)=-2-\frac{1}{3}*(-2)^3=-2+\frac{8}{3} =\boxed{\frac{2}{3}}\\\\f(-1)=-1-\frac{1}{3}*(-1)^3=-1+\frac{1}{3} =\boxed{-\frac{2}{3}}\\\\f(0)=-0-\frac{1}{3}*0^3=-0-0=\boxed{0}[/tex]

Среди значений выбираем наибольшее и наименьшее:

[tex]\Large \boldsymbol {} max \:f(x)=f(-2)=\frac{2}{3} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:min \:f(x)=f(-1)=-\frac{2}{3}\\ \ [-2;0] \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:[-2;0][/tex]