Ответ:

Площадь общей части двух кругов равна [tex]\displaystyle \bf \frac{5\pi }{6}-\sqrt{3}[/tex]  см².

Объяснение:

Найдите площадь общей части двух кругов с радиусами 1 см и √3 см, расстояние между их центрами равно 2 см.

Дано: Окр(О,R) ∩ Окр.(Е, r) = A, B.

R = √3 см, r = 1 см;

ОЕ = 2 см.

Найти: S общей части двух кругов.

Решение:

• Отрезок, соединяющий центры пересекающихся окружностей, перпендикулярен их общей хорде.

⇒ ОЕ ⊥ АВ

• Радиус перпендикулярный хорде, делит ее пополам.

⇒ ВС = АС

1. Найдем АВ.

Пусть ОС = х см, тогда СЕ = (2 - х) см.

По теореме Пифагора:

из ΔАОС:   АС² = АО² - ОС² = 3 - х²

из ΔСАЕ:    АС² = АЕ² - СЕ² = 1 - (2-х)² = 1 - 4 + 4х - х² = -3 + 4х - х²

⇒ 3 - х² = -3 + 4х - х²

4х = 6

[tex]\displaystyle x=\frac{3}{2}[/tex]

[tex]\displaystyle AC^2=3-\frac{9}{4}=\frac{3}{4} \;\;\;\Rightarrow \;\;\;AC=\sqrt{\frac{3}{4} } =\frac{\sqrt{3} }{2}[/tex] (см)

[tex]\displaystyle \bf AB=AC\cdot 2 = \frac{\sqrt{3} }{2}\cdot 2=\sqrt{3}[/tex]  (см)

2. Рассмотрим ΔВОА.

ВО = ОА = АВ = √3 см

⇒ ΔВОА - равносторонний.

⇒ ∠АОВ = 60°

3. Рассмотрим ΔВАЕ.

Надо найти ∠АЕВ.

Теорема косинусов:

• Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

АВ² = ЕА² + ЕВ² - 2 · ЕА · ЕВ · cos∠AEB

3= 1² + 1² - 2 · 1 · 1 · cos∠AEB

[tex]\displaystyle cos\angle{AEB}=-\frac{1}{2}\\ \\[/tex]

⇒ ∠AEB = 120°

4. Найдем площадь сегмента с ◡AnB.

Для этого найдем площадь сектора с ◡AnB и площадь ΔОАВ.

Площадь сектора:

[tex]\displaystyle \bf S=\frac{\pi R^2}{360^0}\cdot \alpha ^0[/tex],

где α° - градусная мера центрального угла.

[tex]\displaystyle S_{1c} =\frac{\pi \cdot3}{360^0}\cdot60^0=\frac{\pi }{2}[/tex]  (см²)

Площадь треугольника найдем по формуле:

[tex]\displaystyle \bf S=\frac{1}{2}ab\cdot sin\alpha[/tex] ,

где a и b - стороны треугольника, α - угол между ними.

[tex]\displaystyle S_{1\Delta} =\frac{1}{2}\cdot\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}\cdot sin60^0=\frac{3}{2}\cdot\frac{\sqrt{3} }{2}=\frac{3\sqrt{3} }{4}[/tex]  (см²)

⇒ Площадь сегмента:

[tex]\displaystyle \bf S_1=S_{1c}-S_{1\Delta}=\frac{\pi }{2}-\frac{3\sqrt{3} }{4}[/tex]  (см²)

5. Найдем площадь сегмента с ◡AmB.

Для этого найдем площадь сектора с ◡AmB и площадь ΔАEВ.

[tex]\displaystyle S_{2c} =\frac{\pi \cdot1}{360^0}\cdot120^0=\frac{\pi }{3}[/tex]  (см²)

[tex]\displaystyle S_{2\Delta} =\frac{1}{2}\cdot1\cdot1\cdot sin120^0=\frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{3} }{2}=\frac{\sqrt{3} }{4}[/tex]  (см²)

⇒ Площадь сегмента:

[tex]\displaystyle \bf S_2=S_{2c}-S_{2\Delta}=\frac{\pi }{3}-\frac{\sqrt{3} }{4}[/tex]  (см²)

6. Найдем площадь общей части двух кругов.

[tex]\displaystyle \bf S=S_1+S_2=\frac{\pi }{2}-\frac{3\sqrt{3} }{4}+\frac{\pi }{3} -\frac{\sqrt{3} }{4}=\frac{5\pi }{6} -\sqrt{3}\;[/tex]  (см²)

#SPJ1