Ответ:

Площадь общей части двух кругов:

[tex]\boldsymbol{\boxed{S = \dfrac{5\pi }{6} - \sqrt{3}}}[/tex] см²

Примечание:

По формуле приведения:

[tex]\boxed{\sin \alpha = \sin (180^{\circ} - \alpha )}[/tex]

Объяснение:

Дано: O₁,O₂ - центра окружностей, AO₁ = BO₁ = [tex]\sqrt{3}[/tex] см, AO₂ = BO₂ = 1 см, O₁O₂ = 2 см

Найти: S - ?

Решение:

По теореме косинусов для треугольника ΔAO₁O₂:

[tex]{AO_{2}}^{2} = {AO_{1}}^{2} + {O_{1}O_{2}}^{2} - 2 \cdot AO_{1} \cdot O_{1}O_{2} \cos \angle AO_{1}O_{2} \Longrightarrow[/tex]

[tex]\Longrightarrow \angle AO_{1}O_{2} = \arccos\bigg ( \dfrac{ {AO_{1}}^{2} + {O_{1}O_{2}}^{2} - {AO_{2}}^{2}}{2 \cdot AO_{1} \cdot O_{1}O_{2} } \bigg ) =[/tex]

[tex]= \arccos\bigg ( \dfrac{ (\sqrt{3} )^{2} +2^{2} - 1^{2}}{2 \cdot 2\cdot \sqrt{3} } \bigg ) = \arccos \bigg ( \dfrac{3 + 4 - 1}{4\sqrt{ 3} } \bigg ) = \arccos \bigg ( \dfrac{6}{4\sqrt{3} } \bigg ) = \arccos \bigg ( \dfrac{3}{2\sqrt{3} } \bigg ) =[/tex]

[tex]= \arccos \bigg ( \dfrac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} } \bigg ) = \arccos \bigg ( \dfrac{3\sqrt{3}}{2 \cdot 3} \bigg ) = \arccos \bigg ( \dfrac{\sqrt{3}}{2} \bigg ) = 30^{\circ}[/tex].

[tex]{AO_{1}}^{2} = {AO_{2}}^{2} + {O_{1}O_{2}}^{2} - 2 \cdot AO_{2} \cdot O_{1}O_{2} \cos \angle AO_{2}O_{1} \Longrightarrow[/tex]

[tex]\Longrightarrow \angle AO_{2}O_{1} = \arccos\bigg ( \dfrac{{AO_{2}}^{2} + {O_{1}O_{2}}^{2} - {AO_{1}}^{2}}{2 \cdot AO_{2} \cdot O_{1}O_{2} } \bigg ) =[/tex]

[tex]= \arccos\bigg ( \dfrac{ 1^{2} +2^{2} - (\sqrt{3} )^{2}}{2 \cdot 1\cdot2} \bigg ) =\arccos\bigg ( \dfrac{1 +4 -3}{2 \cdot2} \bigg ) = \arccos\bigg ( \dfrac{2}{2 \cdot2} \bigg ) =[/tex]

[tex]= \arccos\bigg ( \dfrac{1}{2} \bigg ) = 60^{\circ}[/tex].

Треугольник ΔO₁AO₂ = ΔO₁BO₂ по третьему признаку равенства треугольников, так как AO₁ = BO₁, AO₂ = BO₂ - по условию, а сторона O₁O₂ - общая.

Так как треугольник ΔO₁AO₂ = ΔO₁BO₂, то по свойствам равных треугольников их соответствующие элементы равны, тогда угол ∠AO₁O₂ = ∠BO₁O₂ = 30°, ∠AO₂O₁ = ∠BO₂O₁ = 60°, следовательно:

∠AO₁B = ∠AO₁O₂ + ∠BO₁O₂ = 30° + 30° = 60°.

∠AO₂B = ∠AO₂O₁ + ∠BO₂O₁ = 60° + 60° = 120°.

По формуле площади сегмента, который отсекается хордой AB и дугой ∪AFB:

[tex]S_{1} = \dfrac{{AO_{1}}^{2}}{2} \bigg ( \dfrac{\pi \angle AO_{1}B }{180^{\circ}} - \sin \angle AO_{1}B\bigg ) = \dfrac{(\sqrt{3} )^{2}}{2} \bigg ( \dfrac{60^{\circ}\pi }{180^{\circ}} - \sin 60^{\circ}\bigg )=[/tex]

[tex]= \dfrac{3}{2} \bigg ( \dfrac{\pi }{3} - \dfrac{\sqrt{3} }{2} \bigg )= \dfrac{3\pi }{2 \cdot 3} - \dfrac{3\sqrt{3} }{4} = \dfrac{\pi}{2} - \dfrac{3\sqrt{3} }{4}[/tex] см².

По формуле площади сегмента, который отсекается хордой AB и дугой ∪AEB:

[tex]S_{2} = \dfrac{{AO_{2}}^{2}}{2} \bigg ( \dfrac{\pi \angle AO_{2}B }{180^{\circ}} - \sin \angle AO_{2}B\bigg ) = \dfrac{1^{2}}{2} \bigg ( \dfrac{120^{\circ}\pi }{180^{\circ}} - \sin 120^{\circ}\bigg )=[/tex]

[tex]= \dfrac{1}{2} \bigg ( \dfrac{2\pi }{3} - \sin(180^{\circ} - 120^{\circ}) \bigg )= \dfrac{1}{2} \bigg ( \dfrac{2\pi }{3} - \sin 60^{\circ} \bigg )= \dfrac{1}{2} \bigg ( \dfrac{2\pi }{3} - \dfrac{\sqrt{3} }{2} \bigg )=[/tex]

[tex]= \dfrac{2\pi }{2 \cdot 3} - \dfrac{\sqrt{3} }{2 \cdot 2} = \dfrac{\pi }{3} - \dfrac{\sqrt{3} }{4}[/tex] см².

Площадь общей части двух кругов с центрами в точках O₁ и O₂:

[tex]S = S_{1} + S_{2} = \dfrac{\pi}{2} - \dfrac{3\sqrt{3} }{4} + \dfrac{\pi }{3} - \dfrac{\sqrt{3} }{4} = \dfrac{3\pi +2\pi }{6} - \dfrac{4\sqrt{3} }{4} = \dfrac{5\pi }{6} - \sqrt{3}[/tex] см².