Ответ:

В числителе записана арифметическая прогрессия , сумму членов которой можно вычислить по формуле  [tex]\bf S_{n}=\dfrac{a_1+a_{n}}{2}\cdot n[/tex]   .

[tex]\bf \lim\limits_{x \to \infty }\, \dfrac{1+2+...+n}{n^2-3}=\lim\limits_{x \to \infty }\, \dfrac{\dfrac{1+n}{2}\cdot n}{n^2-3}=\lim\limits_{x \to \infty }\, \dfrac{n(n+1)}{2(n^2-3)}=\lim\limits_{x \to \infty }\, \dfrac{n^2+n}{2n^2-6}=\\\\\\=\lim\limits_{x \to \infty }\, \dfrac{n^2}{2n^2}=\dfrac{1}{2}[/tex]