Числа, равные по модулю N, имеют при делении на N равные остатки.

Равенство чисел по модулю N: если к числу А прибавить (или вычесть из него) некоторое количество раз число N, то полученное число будет равно числу А по модулю N.

[tex]A\equiv A+kN\pmod N,\ k\in\mathbb{Z}[/tex]

Вследствие этого получим:

[tex]2017=2018-1\equiv-1\pmod {2018}[/tex]

Рассмотрим заданное выражение:

[tex]2017^{10}+2017^5+1\equiv(-1)^{10}+(-1)^5+1=1-1+1=1\pmod{2018}[/tex]

Так как число 1 при делении на 2018 дает остаток 1, то и число [tex]2017^{10}+2017^5+1[/tex] при делении на 2018 дает остаток 1.

Ответ: 1