Ответ:

Двойной интеграл:

[tex]\boldsymbol{\boxed{\iint\limits_D {x} \, dxdy = \frac{7}{15}}}[/tex]

Пошаговое объяснение:

Область [tex]D:[/tex]

[tex]y = x^3[/tex]

[tex]y + x = 2 \Longleftrightarrow y = 2- x[/tex]

[tex]x = 0[/tex]

Абсцисса пересечения кривых [tex]y = x^3[/tex] и [tex]y = 2- x:[/tex]

[tex]x^3 = 2 - x[/tex]

[tex]x^3 + x - 2 = 0[/tex]

Делители свободного члена:

[tex]\pm 1,\pm 2[/tex]

[tex]x = 1:[/tex]

[tex]1^{3} + 1 - 2 = 2-2=0[/tex], то есть [tex]x = 1[/tex] - корень

Вычисление двойного интеграла:

[tex]\displaystyle \iint\limits_D {x} \, dxdy = \int\limits^1_0 dx \int\limits_{x^{3}}^{2-x} {x} \, dy = \int\limits^1_0 {x} \, dx \int\limits_{x^{3}}^{2-x} \, dy = \int\limits^1_0 {x \cdot y \bigg |_{x^{3}}^{2-x} } \, dx =[/tex]

[tex]\displaystyle = \int\limits^1_0 {x(2-x-x^{3})} \, dx = \int\limits^1_0 {(2x -x^{2} - x^{4})} \, dx = \bigg(x^{2} - \frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{5}}{5} \bigg) \bigg |_{0}^{1} =[/tex]

[tex]\displaystyle = \bigg(1^{2} - \frac{1^{3}}{3} - \frac{1^{5}}{5} \bigg) - \bigg(0^{2} - \frac{0^{3}}{3} - \frac{0^{5}}{5} \bigg) = 1 - \frac{1}{3} - \frac{1}{5} = \frac{15 - 5-3}{15} = \frac{7}{15}[/tex]