Данный ряд представляет собой частный случай специальной функции полилогарифма, который обозначается [tex]\mathrm{Li}_s(x)[/tex]. Чтобы проверить ряд на сходимость, мы можем использовать разные признаки или попробовать вычислить его, ибо если мы смогли вычислить и получить значение суммы, значит сумма сходится. Так как нас не спрашивают про условную и абсолютную сходимость, то попробуем вычислить его

Полилогарифм можно представить виде ряда, то есть

[tex]\mathrm{Li}_s(x)=\sum\limits_{k=1}^{\infty }\frac{x^k}{k^s}[/tex]

Заметим, что в нашем случае [tex]s=-1/2[/tex]. тогда

[tex]\sum\limits_{n=1}^{\infty }\frac{\sqrt{n}}{2^n}=\mathrm{Li}_{-\frac{1}{2}}\left ( \frac{1}{2} \right )[/tex]

Так как мы нашли чему равна сумма, то ряд сходится