Ответ:
Дано дифференциальное уравнение: tg(x)dy + (1 - y)dx = 0.
Для решения этого уравнения мы можем использовать метод разделяющихся переменных. Для этого перепишем уравнение в следующем виде:
tg(x)dy = (y - 1)dx.
Теперь разделим обе части уравнения на (y - 1):
(tg(x)dy) / (y - 1) = dx.
Теперь мы можем проинтегрировать обе части уравнения относительно соответствующих переменных:
∫ (tg(x)dy) / (y - 1) = ∫ dx.
Интегрируя, получим:
ln|y - 1| = x + C,
где С - произвольная постоянная интегрирования.
Для определения конкретного значения С, используем начальное условие y(pi/2) = 3. Подставим x = pi/2 и y = 3 в уравнение:
ln|3 - 1| = pi/2 + C,
ln|2| = pi/2 + C.
Используя свойства натурального логарифма, получаем:
ln(2) = ln(e^(pi/2 + C)),
ln(2) = ln(e^(pi/2) * e^C),
ln(2) = ln(e^(pi/2)) + ln(e^C),
ln(2) = pi/2 + C.
Таким образом, значение C равно ln(2) - pi/2.
Подставим это значение в общее решение уравнения:
ln|y - 1| = x + (ln(2) - pi/2).
Это является общим решением данного дифференциального уравнения.
Copyright © 2024 SCHOLAR.TIPS - All rights reserved.
Answers & Comments
Ответ:
Дано дифференциальное уравнение: tg(x)dy + (1 - y)dx = 0.
Для решения этого уравнения мы можем использовать метод разделяющихся переменных. Для этого перепишем уравнение в следующем виде:
tg(x)dy = (y - 1)dx.
Теперь разделим обе части уравнения на (y - 1):
(tg(x)dy) / (y - 1) = dx.
Теперь мы можем проинтегрировать обе части уравнения относительно соответствующих переменных:
∫ (tg(x)dy) / (y - 1) = ∫ dx.
Интегрируя, получим:
ln|y - 1| = x + C,
где С - произвольная постоянная интегрирования.
Для определения конкретного значения С, используем начальное условие y(pi/2) = 3. Подставим x = pi/2 и y = 3 в уравнение:
ln|3 - 1| = pi/2 + C,
ln|2| = pi/2 + C.
Используя свойства натурального логарифма, получаем:
ln(2) = ln(e^(pi/2 + C)),
ln(2) = ln(e^(pi/2) * e^C),
ln(2) = ln(e^(pi/2)) + ln(e^C),
ln(2) = pi/2 + C.
Таким образом, значение C равно ln(2) - pi/2.
Подставим это значение в общее решение уравнения:
ln|y - 1| = x + (ln(2) - pi/2).
Это является общим решением данного дифференциального уравнения.