Ответ:

[tex]\ln | \ln x+ 1| + C[/tex]

Пошаговое объяснение:

[tex]\displaystyle \int\limits {\frac{1}{x(1 + \ln x)} } \, dx[/tex]

Заметим , что

[tex](\ln x )'= \dfrac{1}{x} \\\\ \dfrac{1}{x} ~ d(x) = d(\ln x)[/tex]

Таким образом

[tex]\displaystyle \int\limits {\frac{1}{x(1 + \ln x)} } \, dx = \int\limits {\frac{1}{1 + \ln x} } \cdot \frac{1}{x} \, dx = \int\limits {\frac{1}{1 + \ln x} } \, d(1+\ln x )[/tex]

Введя замену   1 + ln x = t ,  получаем

[tex]\displaystyle \int\limits {\frac{1}{1 + \ln x} } \, d(1+\ln x ) = \int\limits {\frac{1}{t } \, d(t ) = \ln |t | + C = \ln | \ln x+ 1| + C[/tex]