2...

July 2022 1 67 Report

Какое максимальное количество ребер у неориентированного графа с N вершин и K компонент связности. Напомню, что для полного неориентированного графа это N * (N - 1) / 2

Answers & Comments

nelle987

Verified answer

Каждая из компонент связности должна быть кликой (иначе говоря, каждые две вершины в одной компоненте связности должны быть связаны ребром). Если в i-ой компоненте связности $n_i$ вершин, то общее число рёбер будет суммой по всем компонентам связности:

$\displaystyle \sum_{i=1}^K\frac{n_i(n_i-1)}2=\frac12\sum_{i=1}^K n_i^2-\frac12\sum_{i=1}^Kn_i=\frac12\sum_{i=1}^K n_i^2-\frac N2$

Требуется найти максимум этого выражения (т.е. на самом деле - максимум суммы квадратов) при условии, что сумма всех ni равна N и ni - натуральные числа.

Если K = 1, то всё очевидно - ответ N(N - 1)/2. Пусть K > 1.

Предположим, n1 <= n2 <= ... <= nK - набор чисел, для которых достигается максимум, и n1 > 1. Уменьшим число вершин в первой компоненте связности до 1, а оставшиеся вершины "перекинем" в K-ую компоненту связности. Вычислим, как изменится сумма квадратов:
$\Delta(\sum n_i^2)=(1^2+(n_K+n_1-1)^2)-(n_1^2+n_K^2)=2(n_1-1)(n_K-1)$
Поскольку по предположению n1 > 1 (тогда и nK > 1), то сумма квадратов увеличится, что противоречит предположению о том, что на выбранном изначально наборе достигается максимум. Значит, максимум достигается, если наименьшая по размеру компонента связности - изолированная вершина. Выкинем эту компоненту связности, останутся K - 1 компонента связности и N - 1 вершина. Будем продолжать так делать, пока не останется одна вершина, тогда получится, что во всех компонентах связности кроме последней должно быть по одной вершине.

Итак, должно выполняться
$n_1=n_2=\cdots=n_{K-1}=1;\qquad n_K=N-K+1$

Подставив в исходную формулу, получаем
$\displaystyle\frac{(N-K)(N-K+1)}{2}$

Это и есть ответ.

3 votes Thanks 4

nelle987 и не говорите.

Answers & Comments

Verified answer

dve zadachi po organike

dokazat chto summa naturalnyh delitelej chisla 20172016 nechetna

neslozhnyj test po alkanam12d79ea55471950b14ae4ae11f4ded28 32130

neslozhnyj test po alkanam5ba3341c09b151043cc13c526659f678 37905

reshit uravnenie cos x 12sin x cos2x 2 2sinx

dany naturalnye chisla x xn dokazhite chto chislo 1 x1 x

3, Sn = 182...

imeetsya 2n chisel pro kotorye izvestno chto sredi nih rovno m par takih chto pr

sushestvuet li naturalnoe chislo n takoe chto a n n 1 1996 b n

reshit uravnenie metodom zameny x x 1 x3x x 1

рекомендуемые вопросы

Helpful Links

Helpful Social