Ответ:
Стороны прямоугольного треугольника 6 дм, 8 дм, 10 дм.
Пошаговое объяснение:
Введем обозначения:
По условию, периметр треугольника 24 дм:
a + b + c = 24
Площадь треугольника 24 дм²:
[tex]S=\dfrac{ab}{2}=24[/tex]
По теореме Пифагора:
a² + b² = c²
Получаем систему из трех уравнений с тремя переменными:
[tex]\left\{ \begin{array}{lll}a+b+c=24\\\\\dfrac{ab}{2}=24\\\\a^2+b^2=c^2\end{array}[/tex]
[tex]\left\{ \begin{array}{lll}a+b=24-c\\ab=48\\a^2+b^2=c^2\end{array}[/tex]
Возведем обе части первого уравнения в квадрат:
[tex]\left\{ \begin{array}{lll}a^2+2ab+b^2=576-48c+c^2\\2ab=96\\a^2+b^2=c^2\end{array}[/tex]
Подставим второе и третье уравнение в первое:
[tex]\left\{ \begin{array}{lll}c^2+96=576-48c+c^2\\2ab=96\\a^2+b^2=c^2\end{array}[/tex]
Решим первое уравнение:
[tex]c^2+96=576-48c+c^2[/tex]
[tex]48c=576-96[/tex]
[tex]48c=480[/tex]
[tex]c=10[/tex]
[tex]\left\{ \begin{array}{lll}c=10\\a+b=24-10\\ab=48\end{array}[/tex] [tex]\left\{ \begin{array}{ll}c=10\\a+b=14\\ab=48\end{array}[/tex] [tex]\left\{ \begin{array}{ll}c=10\\b=14-a\\a(14-a)=48\end{array}[/tex]
Решим третье уравнение:
a(14 - a) = 48
a² - 14a + 48 = 0
По теореме, обратной теореме Виета:
a = 6 или а = 8
так как а - меньший катет, то а = 6 дм.
[tex]\left\{ \begin{array}{lll}c=10\\a=6\\b=8\end{array}[/tex]
Стороны треугольника 6 дм, 8 дм, 10 дм.
Copyright © 2024 SCHOLAR.TIPS - All rights reserved.
Answers & Comments
Ответ:
Стороны прямоугольного треугольника 6 дм, 8 дм, 10 дм.
Пошаговое объяснение:
Введем обозначения:
По условию, периметр треугольника 24 дм:
a + b + c = 24
Площадь треугольника 24 дм²:
[tex]S=\dfrac{ab}{2}=24[/tex]
По теореме Пифагора:
a² + b² = c²
Получаем систему из трех уравнений с тремя переменными:
[tex]\left\{ \begin{array}{lll}a+b+c=24\\\\\dfrac{ab}{2}=24\\\\a^2+b^2=c^2\end{array}[/tex]
[tex]\left\{ \begin{array}{lll}a+b=24-c\\ab=48\\a^2+b^2=c^2\end{array}[/tex]
Возведем обе части первого уравнения в квадрат:
[tex]\left\{ \begin{array}{lll}a^2+2ab+b^2=576-48c+c^2\\2ab=96\\a^2+b^2=c^2\end{array}[/tex]
Подставим второе и третье уравнение в первое:
[tex]\left\{ \begin{array}{lll}c^2+96=576-48c+c^2\\2ab=96\\a^2+b^2=c^2\end{array}[/tex]
Решим первое уравнение:
[tex]c^2+96=576-48c+c^2[/tex]
[tex]48c=576-96[/tex]
[tex]48c=480[/tex]
[tex]c=10[/tex]
[tex]\left\{ \begin{array}{lll}c=10\\a+b=24-10\\ab=48\end{array}[/tex] [tex]\left\{ \begin{array}{ll}c=10\\a+b=14\\ab=48\end{array}[/tex] [tex]\left\{ \begin{array}{ll}c=10\\b=14-a\\a(14-a)=48\end{array}[/tex]
Решим третье уравнение:
a(14 - a) = 48
a² - 14a + 48 = 0
По теореме, обратной теореме Виета:
a = 6 или а = 8
так как а - меньший катет, то а = 6 дм.
[tex]\left\{ \begin{array}{lll}c=10\\a=6\\b=8\end{array}[/tex]
Стороны треугольника 6 дм, 8 дм, 10 дм.