Ответ:

Применим формулу тангенса суммы углов .

[tex]\displaystyle \bf 1)\ \ tg\dfrac{5\pi }{12}=tg75^\circ =tg\Big(45^\circ +30^\circ \Big)=\frac{tg45^\circ +tg30^\circ }{1-tg45^\circ \cdot tg30^\circ }=\\\\\\=\frac{1+\dfrac{1}{\sqrt3}}{1-\dfrac{1}{\sqrt3}}=\frac{\sqrt3+1}{\sqrt3-1}[/tex]  

[tex]\bf 2)\ \ sin15^\circ > 0[/tex]  

Применим формулу понижения степени .      

[tex]\bf sin^215^\circ =\dfrac{1-cos30^\circ }{2}=\dfrac{1-\dfrac{\sqrt3}{2}}{2}=\dfrac{2-\sqrt3}{4}\ \ \ \Rightarrow \ \ \ sin15^\circ =\dfrac{\sqrt{2-\sqrt3}}{2}[/tex]  

Можно получить такую формулу :

[tex]\bf sin15^\circ =\dfrac{\sqrt{2-\sqrt3}}{2}=\dfrac{\sqrt{4-2\sqrt3}}{2\sqrt2}=\dfrac{\sqrt{(\bf \sqrt3-1)^2}}{2\sqrt2}=\dfrac{\sqrt3-1}{2\sqrt2}[/tex]