Ответ:

Каноническое уравнение  [tex]\displaystyle \frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{25}=1[/tex]

Большая ось В₁В₂ = 10; а малая ось А₁А₂ = 8.

Межфокусное расстояние F₁F₂ = 6

Координаты фокусов: F₁(0; 3); F₂(0; -3);

вершин: А₁(4; 0); А₂(-4; 0); В₁(0; 5); В₂(0; -5).

Пошаговое объяснение:

Привести уравнение к каноническому, вычислить длину осей, межфокусное расстояние, координаты вершин и фокусов.

25x²+16y²=400

• Эллипс - геометрическое место точек, сумма расстояний от которых до двух точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная длине большой оси.
• Каноническое уравнение эллипса имеет вид:
•                             [tex]\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1[/tex],

где а и b - положительные действительные числа, полуоси эллипса.

Составим каноническое уравнение. Для этого разделим левую и правую части равенства на 400, то есть, чтобы справа была 1:

[tex]\displaystyle 25x^2+16y^2=400\;\;\;\;\;|:400\\\\\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{25}=1[/tex]

Вычислим длину осей.

У нас а²=16 ⇒ а = 4; b² = 25 ⇒ b = 5.

У нас b > a ⇒ большая ось расположена на оси Оу, а малая ось на оси Ох.

Тогда большая ось В₁В₂ = 2b = 10; а малая ось А₁А₂ = 2а = 8.

Найдем межфокусное расстояние.

Так как большая ось лежит на оси Оу, то имеет место равенство:

b² = a² + c², где с - расстояние от каждого из фокусов до центра симметрии эллипса.

Отсюда

[tex]c=\sqrt{b^2-a^2} \\\\c=\sqrt{5^2-4^2}=\sqrt{9}=3[/tex]

Расстояние между фокусами равно

F₁F₂ = 2c = 6

Координаты вершин и фокусов.

Фокусы расположены на большой оси и имеют координаты:

F₁(0; c); F₂(0; -c)

Координаты вершин имеют координаты:

А₁(a; 0); A₂(-a; 0); B₁(0; b); B₂(0; -b)

В нашем задании координаты фокусов:

F₁(0; 3); F₂(0; -3);

вершин:

А₁(4; 0); А₂(-4; 0); В₁(0; 5); В₂(0; -5).

#SPJ1