Ответ:

Чтобы найти объем тела, ограниченного данными поверхностями, мы можем использовать тройной интеграл по области интегрирования, представленной на чертеже. Область интегрирования ограничена плоскостями x = 0, y = 0 и прямой 3x + 4y = 1. Заданная поверхность имеет уравнение z = 9 - y^2.

Для начала нам необходимо определить границы интегрирования для каждой переменной. Мы можем использовать уравнение прямой, чтобы выразить переменную x через y: x = (1 - 4y) / 3. Для переменной y границы интегрирования будут от 0 до 1 / 4. Для переменной z границы интегрирования будут от 0 до 9 - y^2.

Теперь мы можем записать интеграл:

V = ∭ (0 to 1/4) ∭ (0 to 9-y^2) ∭ (0 to (1-4y)/3) dzdxdy

Вычисляем этот интеграл и получаем объем тела.

2) Для изменения порядка интегрирования в двойном интеграле мы можем использовать формулу Фубини. Область интегрирования описывается линиями y = 0, y = 6, x = y и x = (1/2)y + 3.

Сначала мы интегрируем по переменной x:

∫(0 to 6) ∫(y to (1/2)y+3) f(x,y) dxdy

Затем мы можем интегрировать по переменной y:

∫(0 to 3) ∫(0 to 2y-3) f(x,y) dydx

Таким образом, мы изменили порядок интегрирования в заданном интеграле.

3) Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной заданными линиями, мы можем использовать двойной интеграл. Фигура ограничена линиями y^2 = 2x + 1 и y = x - 1.

Для начала мы можем найти точки пересечения линий, решив уравнение y^2 = 2x + 1 и y = x - 1. Мы получаем x = 1, y = 0 и x = 4, y = 3.

Затем мы можем записать двойной интеграл для нахождения площади фигуры:

A = ∬ (y-1 to √(2x+1)) dxdy

Границы интегрирования для переменной x - от 1 до 4, для переменной y - от 0 до 3.

Вычисляем интеграл и получаем площадь фигуры.

Надеюсь, это помогло вам решить задачи. Если у вас есть какие-либо вопросы, не стесняйтесь их задавать!