Ответ:

Длина средней линии MN треугольника АВС равна [tex]\sqrt{41}[/tex]

Пошаговое объяснение:

Перевод: В треугольнике АВС известно, что А(3;-1;-2), В(-5;7;4), С(2;10;4). Найдите длину средней линии MN треугольника АВС, где M и N середины сторон АС и ВС, соответственно.

Информация: 1) Средняя линия треугольника — это отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

2) Координаты (x₀;y₀;z₀) середина T отрезка PQ, где P(x₁;y₁;z₁) и Q(x₂;y₂;z₂) определяются по формулам

[tex]\displaystyle \tt x_0=\frac{x_1+x_2}{2}, \; y_0=\frac{y_1+y_2}{2}, \; z_0=\frac{z_1+z_2}{2}.[/tex]

3) Длина отрезка PQ, где P(x₁;y₁;z₁) и Q(x₂;y₂;z₂), определяется по формуле

[tex]\displaystyle \tt |PQ|=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2+(z_1-z_2)^2}.[/tex]

Решение. Так как MN средняя линия и точка M середина отрезка АС и N середина отрезка ВС, то

[tex]\displaystyle \tt M\left (\frac{3+2}{2}; \frac{-1+10}{2};\frac{-2+4}{2} \right ), \;N\left (\frac{-5+2}{2}; \frac{7+10}{2};\frac{4+4}{2} \right )[/tex]

или

[tex]\displaystyle \tt M\left (\frac{5}{2}; \frac{9}{2};1 \right ), \;N\left (\frac{-3}{2}; \frac{17}{2};4 \right ).[/tex]

Вычислим длину средней линии MN треугольника

[tex]\displaystyle \tt |MN|=\sqrt{\left (\frac{5}{2}-\left(\frac{-3}{2} \right) \right)^2+\left (\frac{9}{2}-\frac{17}{2} \right)^2+(1-4)^2} =\\\\=\sqrt{\left (\frac{5+3}{2} \right)^2+\left (\frac{9-17}{2} \right)^2+(-3)^2} =\\\\=\sqrt{4^2+ (-4)^2+(-3)^2} =\sqrt{16+16+9} =\sqrt{41}.[/tex]

#SPJ1