Ответ:

Запишемо квадратне рівняння у загальному вигляді:

3x² + 13x + k = 0

За формулою дискримінанта знаходимо його значення:

D = b² - 4ac

D = 13² - 4 · 3 · k

D = 169 - 12k

За умовою задачі, відомо, що:

3x + x = -9

4x = -9

x = -9/4

Застосуємо формулу коренів квадратного рівняння:

x₁,₂ = (-b ± √D) / 2a

Замінюємо в формулі відповідні значення і отримуємо два корені:

x₁ = (-13 - √(169 - 12k)) / 6

x₂ = (-13 + √(169 - 12k)) / 6

З іншого боку, ми знаємо, що сума коренів дорівнює -b/a. Підставляємо відповідні значення і спрощуємо:

x₁ + x₂ = -b/a

(-13 - √(169 - 12k)) / 6 + (-13 + √(169 - 12k)) / 6 = -13/3

-26/6 = -13/3

-13/3 = -13/3

Отримали підтвердження того, що ми правильно знайшли корені. Тепер знову скористаємося формулою коренів і замінимо x₁ і x₂ на відповідні значення:

(-13 - √(169 - 12k)) / 6 + (-13 + √(169 - 12k)) / 6 = -9/4

Розділимо обидві частини на 2 і помножимо на 6:

-13 - √(169 - 12k) + (-13 + √(169 - 12k)) = -27/2

-26 = -27/2 + 2√(169 - 12k)

Перенесемо все від'ємне на ліву сторону і піднесемо до квадрата:

(-27/2 + 26)² = 169 - 12k

1/4 = 169 - 12k

12k = 169 - 1/4

12k = 67/4

k = 67/48

Отже, розв'язавши дану систему рівнянь, ми знайшли значення k, яке дорівнює 67/48.