Объяснение:

№3 докажите тождество:

[tex] \\ \\ a) \frac{1 - \sin(x) }{ \cos(x) } = \frac{ \cos(x) }{1 + \sin(x) } [/tex]

перемножим крест на крест:

(1–sinx)(1+sinx)=cosx•cosx

1–sin²x=cos²x

cos²x=cos²x

Доказано.

В решении использована формула:

sin²x+cos²x=1 → 1–sin²x=cosx

б)

[tex] \\ \sin ^{2} x \times \ctg ^{2}x =1 - \sin {}^{2} x \\ \\ \sin ^{2} x \times \frac{cos {}^{2} x}{sin {}^{2}x } = cos {}^{2} x \\ \\ cos {}^{2}x = cos {}^{2}x [/tex]

в доказательстве использованы формулы

[tex] \\ ctg = \frac{cos}{sin} → ctg²x= \frac{cos²x}{sin²x} \\ \\ sin²x+cos²x=1 → \\ \\ cos²x=1–sin²x[/tex]

в)

[tex] \\ \\ \frac{cosx–sinx}{1–tgx} = \frac{cosx+sinx}{1+tgx}[/tex]

(соsx–sinx)(1+tgx)=(cosx+sinx)(1–tgx)

преобразуем левую часть:

[tex] \\ \\ ( cosx - sinx)((1 + \frac{sinx}{cosx} )= \\ \\ = cosx+ \frac{cosx•sinx}{cosx} –sinx– \\ \\ - \frac{sin²x}{cosx} = \\ \\ = cosx+sinx–sinx– \frac{sin²x}{cosx} = \\ \\ = cosx– \frac{sin²x}{cosx} [/tex]

теперь преобразуем правую часть:

(cosx+sinx)(1–tgx)

[tex] \\ \\ (cosx+sinx)(1–tgx)= \\ \\ = (cosx+sinx)(1– \frac{sinx}{cosx} ) = \\ \\ = cosx– \frac{cosx•sinx}{cosx} + sinx - \\ \\ - \frac{sin²x}{cosx} = \\ \\ = cosx–sinx+sinx– \frac{sin²x}{cosx} = \\ \\ = cosx– \frac{sin²x}{cosx} [/tex]

левая часть равна правой:

[tex] \\ \\ cosx– \frac{sin²x}{cosx} =cosx– \frac{sin²x}{cosx} [/tex]

Доказано.

В доказательстве использованы формулa:

[tex] \\ \\tgx= \frac{sinx}{cosx} [/tex]