Ответ:

Функция    [tex]\displaystyle y=1+2tg\bigg(x-\frac{\pi }{3} \bigg)[/tex]     возрастает на каждом из промежутков    [tex]\displaystyle \boldsymbol { \bigg(-\frac{\pi }{6} +n\pi;\;\;\frac{5\pi }{6} +n\pi\bigg)}[/tex]

Объяснение:

Функция y = tg(x) возрастает на каждом из промежутков (–π/2 + πn; π/2 + πn).

В нашем случае график функции по правилам смещения графика будет смещен на n/3 вправо.

соответственно и промежуток сместится вправо на n/3/

Т.е. мы получим левую границу

[tex]\displaystyle -\frac{\pi }{2} +n\pi +\frac{\pi }{3} =-\frac{\pi }{6} +n\pi[/tex]

правую границу

[tex]\displaystyle \frac{\pi }{2} +n\pi +\frac{\pi }{3} =\frac{5\pi }{6} +n\pi[/tex]

все остальные заморочки с другими смещениями на период возрастания функции не влияют.

Итак, ответ таков

Функция  [tex]\displaystyle y=1+2tg\bigg(x-\frac{\pi }{3} \bigg)[/tex]   возрастает на каждом из промежутков

[tex]\displaystyle \bigg(-\frac{\pi }{6} +n\pi;\;\;\frac{5\pi }{6} +n\pi\bigg)[/tex]