Ребята, срочно! 30 баллов!!!
В остроугольном треугольнике АВС из вершин А и С опущены высоты AP и CQ на стороны BC и AB.
а) Докажите, что углы BPQ и BAC равны.
б) Известно, что площадь треугольника ABC равна 96, площадь четырехугольника AQPC равна 72, а радиус окружности, описанной около треугольника ABC, равен 16/√3. Найдите PQ.
В остроугольном треугольнике АВС из вершин А и С опущены высоты AP и CQ на стороны BC и AB.
а) Докажите, что углы BPQ и BAC равны.
б) Известно, что площадь треугольника ABC равна 96, площадь четырехугольника AQPC равна 72, а радиус окружности, описанной около треугольника ABC, равен 16/√3. Найдите PQ.
More Questions From This User See All
Answers & Comments
Verified answer
А) Прямоугольные ΔСQB и ΔAPB подобны по острому углу (угол В-общий)СQ/AP=QB/PB=ВС/АВ
Откуда QB/ВС=РВ/АВ
Значит ΔАВС и ΔРВQ подобны по 2 пропорциональным сторонам (QB/ВС=РВ/АВ) и углу между ними (угол В-общий). Т.к. у подобных треугольников углы равны, то <BPQ=<BAC, ч.т.д.
б) Sавс=96, Sаqрс=72, значит Sрвq=Sавс-Sаqрс=96-72=24
Отношение площадей 2 подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия: Sрвq/Sавс=24/96=1/4
Значит QB/ВС=РВ/АВ=PQ/AC=1/2
Из прямоугольного Δ СQB QB/ВС=сos B, cos B=1/2, значит <B=60°
Радиус R окружности, описанной около треугольника ABC равен:
R=AC/2sin B
AC=2R*sin 60= 2*16/√3*√3/2=16
PQ=AC/2=16/2=8