8 площади трапеции...

Zlatan2014 @Zlatan2014

July 2022 1 39 Report

Около окружности описана равнобедренная трапеция.
а) Докажите, что ее диагональ проходит через середину отрезка, концы которого – точки касания окружности с боковыми сторонами трапеции.
б) Найдите отношение оснований трапеции, если известно, что площадь четырехугольника с вершинами в точках касания окружности со сторонами трапеции составляет 3/8 площади трапеции.

Answers & Comments

Матов

Verified answer

Положим что это верно , то есть $AC$ делить $\fracno numeric noise key 1057no numeric noise key 1056 \\$ $M \in AB\\ N \in CD$ ,    $M;N$ точки касания ,   тогда и вторая диагональ $BD$ делить $\frac{MN}{2}$ из-за того что трапеция равнобедренная .
Продлим $AB;CD$ за точки $B,C$ , тогда и замечательного свойства трапеций , того что отрезок соединяющий диагонали и основания , проведенный из вершины проходит через одну точку , но так как трапеция равнобедренная , получим что прямая проведенная с вершины треугольника , будет делить $BC;AD$ на $2$ , но так как $MN || BC || AD$ , то и $MN$ и точки пересечения диагоналей и $MN$ будут пересекаться в одной точке ,а значит изначальное условие было верно .

Так как трапеция , равнобедренная , диагонали делят на треугольники , два из которых подобны , если большее основание и меньшее равны $a,b$ тогда $\frac{h_{1}}{h_{2}} = \frac{b}{a}$    $h_{1} ; h_{2}$ высоты треугольников образованных отрезками диагоналей и основаниями . Получим
   $\frac{(a+b)*(b* \frac{h_{2}}{a}+h2) - (bh_{2}+ah_{2})}{2} = \frac{3*(a+b)*(b* \frac{h_{2}}{a}+h_{2})}{16} \\ 16ab=3(a+b)^2 \\
 3a^2-10ab+3b^2 = 0 \\
 (a-3b)(b-3a) = 0 \\
 a=3b$
То есть основания относятся как $\frac{a}{b}=3$

9 votes Thanks 9

Zlatan2014 Т.е. отношение получилось 3:1?

Матов если не ошибаюсь , то да

Answers & Comments

Verified answer

dve okruzhnosti kasayutsya vneshnim obrazom v tochke k pryamaya kasaetsya pervoj okruzhn

v ostrougolnom treugolnike avs na vysote ad vzyata tochka m a na vysote vr to

cherez centr o vpisannoj v treugolnik avs okruzhnosti provedena pryamaya parallel

na diagonali bd parallelogramma abcd otmecheny tochki p i q prichem bppqqd a d

ochen proshu pomoch osobenno s punktom b dve okruzhnosti kasayutsya vnutrennim o

3 najdite pq

dve okruzhnosti kasayutsya vnutrennim obrazom tretya okruzhnost kasaetsya pervyh dv

spasajte vo vpisannom chetyrehugolnike abcd storony vs i cd ravny diagonali

dve okruzhnosti s centrami o1 i o2 raznyh radiusov peresekayutsya v tochkah a i v h

okruzhnost s centrom o vpisannaya v treugolnik avs kasaetsya storony vs v tochke

рекомендуемые вопросы

Helpful Links

Helpful Social