Ответ:

1) 30⁰;

2) 2√21 см;

3)8 см.

Объяснение:

задание 1.

плоскости α и β пересекаются по прямой l. из точек А и В, лежащих соответственно на плоскостях α и β, проведены перпендикуляры АМ и BN к прямой l. найти угол между плоскостями α и β, если AM=12 см, BN=8√3 см, AN=4√10 см, АВ=8 см.

______________________________

дано:

α и β - плоскости, пересекающиеся по прямой l;

AM и BN - перпендикуляры к прямой l из плоскостей α и β соответственно;

AM=12 см;

BN=8√3 см;

AN=4√10 см;

АВ=8 см.

найти:

угол между плоскостями ∠γ - ?

______________________________

решение:

• рассмотрим треугольник AMN. он прямоугольный по условию, следовательно,  по теореме Пифагора,[tex]\boldsymbol{NM=\sqrt{(4\sqrt{10} )^2-12^2}=\sqrt{160-144} =\sqrt{16} =4~~cm. }[/tex]

• проведем отрезок MB₁, равный и параллельный отрезку NB. рассмотрим треугольник ABB₁ - прямоугольный по построению, а NM=BB₁, поскольку отрезки NB и MB₁ параллельны. тогда АВ₁ - катет данного треугольника, и его можно найти, воспользовавшись теоремой Пифагора: [tex]\boldsymbol{AB_1=\sqrt{AB^2-BB_1^2}=\sqrt{8^2-4^2} =\sqrt{48} =4\sqrt{3} ~~cm. }[/tex]

• рассмотрим треугольник АМ₁. найдем косинус угла γ по теореме косинусов: [tex]\boldsymbol{cos\gamma=\dfrac{AM^2+MB_1^2-AB_1^2}{2*AM*MB_1}=\dfrac{12^2+(8\sqrt{3})^2-(4\sqrt{3} )^2}{2*12*8\sqrt{3} } =\dfrac{144+192-48}{24*8\sqrt{3} }=\dfrac{\sqrt{3} }{2} }.[/tex] тогда [tex]\boldsymbol{\gamma=\arccos(cos\measuredangle \gamma)=arccos\Bigg(\dfrac{\sqrt{3} }{2}\Bigg)=30^\circ }.[/tex]

ответ: угол между плоскостями α и β  составляет 30⁰.

задание 2.

равнобедренные треугольники ABC и ADC имеют общее основние AC. угол между плоскостями равен 60⁰, AC=12 см, ∠ABC=60⁰,∠ADC=120⁰. найти длину отрезка BD.

______________________________

дано:

ABC и ADC - равнобедренные треугольники с общим основанием AC;

угол между плоскостями ABC и ADC равен 60⁰;

AC=12 см;

∠ABC=60⁰;

∠ADC=120⁰.

найти:

BD - ? (см)

______________________________

решение.

• рассмотрим треугольник ADC, образованный в результате пересеченя плоскостей ABC и ADC по прямой AC. проведем высоту DD₁ - перпендикуляр к стороне АС, и поскольку треугольник ADC по условию является равнобедренным, данный перпендикуляр будет являться не только высотой, но и медианой, следовательно [tex]\boldsymbol{AD_1=\dfrac{AC}{2} = \dfrac{12}{2} =6~~ cm.}[/tex]

• рассмотрим прямоугольный по построению треугольник ADD₁. поскольку треугольник ADC равнобедренный и ∠AOC=120⁰ по условию, то [tex]\boldsymbol{\measuredangle DAD_1=\dfrac{180-\measuredangle ADC}{2} =\dfrac{180-120}{2} =30^\circ.}[/tex] DD₁ - катет, лежащий против угла в 30⁰, следовательно, он равен половине гипотенузы. обозначив его за х, составим и решим уравнение согласно данному свойству: [tex]\boldsymbol{6^2+x^2=(2x)^2;}\\\boldsymbol{36+x^2=4x^2;}\\\boldsymbol{x=\sqrt{\dfrac{36}{3}}=2\sqrt{3} ~~cm. }[/tex] значит, DD₁=2√3 см.

• рассмотрим треугольник АВС. по условию ∠АВС=60⁰ и AB=BC, следовательно, он является равносторонним, и АВ=ВС=АС. найдем высоту, проведенную к его основанию, по теореме Пифагора: [tex]\boldsymbol{BD_1=\sqrt{AB^2-AD_1^2}=\sqrt{12^2-6^2}=\sqrt{144-36} = 6\sqrt{3} ~~cm.}[/tex]

• рассмотрим треугольник BDD₁. найдем BD по теореме косинусов: [tex]BD=\sqrt{DD_1^2+BD_1^2-2*DD_1*BD_1*\cos \measuredangle \gamma } = \sqrt{(2\sqrt{3})^2+(6\sqrt{3} )^2-2*2\sqrt{3} *6\sqrt{3} *\dfrac{1}{2} }=\sqrt{12+108-72*\dfrac{1}{2} } =\sqrt{120-36} =\sqrt{84} =2\sqrt{21} ~~cm.[/tex]

ответ: длина отрезка BD составляет 2√21 см.

задание 3.

площадь четырехугольника равна 56√2 см². его ортогональной проекцией на некоторую плоскость является ромб, одна из диагоналей которого равна 14 см. найти другую диагональ ромба, если угол между плоскостью четырехугольника и плоскостью ромба равен 45⁰.

______________________________

дано:

AD₁C₁B - четырехугольник;

ADCB - ромб;

DB=14 см;

∠D₁AD=∠C₁BC=45⁰;

[tex]\boldsymbol{S_{AD_1C_1B}=56\sqrt{2}~~cm^2. }[/tex]

найти:

АС - ? (см).

______________________________

решение.

• [tex]\boxed{!}[/tex]  при ортогональном проецировании проецирующие лучи располагаются под прямым углом к плоскости, на которой строится проекция.

• [tex]\boxed{!}[/tex]  площадь ортогональной проекции многоугольника на плоскость равна произведению площади проектируемого многоугольника на косинус угла, образованного плоскостью, в которой находится многоугольник, и плоскостью, в которой построена проекция.

[tex]\boldsymbol{S_{ABCD}=S_{ABC_1D_1}*\cos\measuredangle D_1AD=56\sqrt{2} *\cos 45^\circ=56\sqrt{\not2} *\dfrac{\sqrt{\not2} }{\not2}= 56~~cm^2. }[/tex]

• [tex]\boxed{!}[/tex]  площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.

выразим из формулы длину неизвестной диагонали и вычислим ее: [tex]\boldsymbol{S_{ABCD}=\dfrac{DB*AC}{2}\Rightarrow AC=\dfrac{2S_{ABCD}}{DB}=\dfrac{56*\not2}{\not14} =56/7=8~~cm. }[/tex]

ответ: длина другой диагонали ромба составляет 8 см.