Ответ:

Вычислить пределы последовательностей .

1) Делим на старшую степень многочлены в числителе и в  знаменателе . В этом примере делим на  n²  .

[tex]\bf \lim\limits _{n \to \infty}\, \dfrac{3n^2+5n+4}{2+n^2}=\lim\limits _{n \to \infty}\, \dfrac{\dfrac{3n^2}{n^2}+\dfrac{5n}{n^2}+\dfrac{4}{n^2} }{\dfrac{2}{n^2}+\dfrac{n^2}{n^2}}=\lim\limits _{n \to \infty}\, \dfrac{3+\dfrac{5}{n}+\dfrac{4}{n^2} }{\dfrac{2}{n^2}+1}=\\\\\\=\Big[\ \dfrac{3+0+0}{0+1}\ \Big]=\dfrac{3}{1}=3[/tex]  

2)  Делим на  n³  .

[tex]\bf \lim\limits _{n \to \infty}\, \dfrac{4n^2-4n+3}{2n^3+3n+4}=\lim\limits _{n \to \infty}\, \dfrac{\dfrac{4n^2}{n^3}-\dfrac{4n}{n^3}+\dfrac{3}{n^3}}{\dfrac{2n^3}{n^3}+\dfrac{3n}{n^3}+\dfrac{4}{n^3}}=\lim\limits _{n \to \infty}\, \dfrac{\dfrac{4}{n}-\dfrac{4}{n^2}+\dfrac{3}{n^3}}{2+\dfrac{3}{n^2}+\dfrac{4}{n^3}}=\\\\\\=\Big[\ \dfrac{0-0+0}{2+0+0}=\dfrac{0}{2}\ \Big]=0[/tex]        

3)  Делим на  n³  .

[tex]\bf \lim\limits _{n \to \infty}\left (\dfrac{2n^3+2n^2+1}{4n^3+7n^2+3n+4}\right)^4=\lim\limits _{n \to \infty}\left(\dfrac{\dfrac{2n^3}{n^3}+\dfrac{2n^2}{n^3}+\dfrac{1}{n^3}}{\dfrac{4n^3}{n^3}+\dfrac{7n^2}{n^3}+\dfrac{3n}{n^3}+\dfrac{4}{n^3}}\right)^4=\\\\\\=\lim\limits _{n \to \infty}\left(\dfrac{2+\dfrac{2}{n}+\dfrac{1}{n^3}}{4+\dfrac{7}{n}+\dfrac{3}{n^2}+\dfrac{4}{n^3}}\right)^4=\Big(\ \dfrac{2}{4}\Big)^4=\Big(\dfrac{1}{2}\ \Big)^4=\dfrac{1}{16}[/tex]