Verified answer

Ответ:

[tex]-1.5[/tex]

Пошаговое объяснение:

[tex]\displaystyle \int\limits^1_0\bigg(x-\dfrac{5}{\sqrt{5x+4}}\bigg)dx[/tex]

Перед нами страшный ингеграл. Представим его в разности суммы двух  интегралов.

[tex]=~\displaystyle \int\limits^1_0x\,dx - \int\limits^1_0\dfrac{5}{\sqrt{5x+4}}\,dx[/tex]

Первый интеграл берется легко

[tex]\displaystyle \int\limits^1_0x\,dx=\dfrac{x^2}2~\bigg|\limits^1_0=\dfrac{1^2}2-0=\dfrac12[/tex]

Второй интеграл чуть посложнее. Представим числитель как производную

[tex]\displaystyle \int\limits^1_0\dfrac{5}{\sqrt{5x+4}}\,dx=\int\limits^1_0\dfrac{(5x+4)'}{\sqrt{5x+4}}\,dx[/tex]

Затем внесем эту производную под дифференциал. [tex]u'(x)\,dx=du[/tex]

[tex]=~\displaystyle \int\limits^1_0\dfrac{1}{\sqrt{5x+4}}\,d\big(5x+4\big)[/tex]

Можем сделать замену [tex]t=5x+4[/tex]

 [tex]=~\displaystyle \int\limits^1_0\dfrac{1}{\sqrt{t}}\,dt=\int\limits^1_0t^{-\frac12}\,dt[/tex]

Интегрируем как степенную функцию

[tex]=~\displaystyle \int\limits^1_0t^{-\frac12}\,dt=\dfrac{t^{-\frac12+1}}{-\frac12+1}~\bigg|\limits^1_0=2t^\frac12~\bigg|\limits^1_0=2\sqrt{t}~\bigg|\limits^1_0=2\sqrt{5x+4}~\bigg|\limits^1_0=2\sqrt{5+4}-2\sqrt{4}=\Bigg.2\cdot3-4=6-4=2[/tex]

Теперь можем вернуться к нашему исходному интегралу

[tex]\dfrac12-2=-1.5[/tex]

Это ответ!