Ответ:

Для нахождения точки пересечения прямой и плоскости, необходимо решить систему уравнений:

{ 3x − y + 2z + 1 = 0,

x = 1 + t,

y = 9 − 2t,

z = −1 + t }

Подставляя значения x, y, z в первое уравнение, получаем:

3(1 + t) − (9 − 2t) + 2(−1 + t) + 1 = 0

Решая уравнение относительно t, найдем значение параметра:

t = -1

Теперь мы можем найти координаты точки пересечения:

x = 1 - 1 = 0

y = 9 - 2(-1) = 11

z = -1 - 1 = -2

Точка пересечения прямой и плоскости имеет координаты (0, 11, -2).

Чтобы найти уравнение плоскости, проходящей через данную прямую и начало координат, мы можем воспользоваться пересечением двух плоскостей.

Первая плоскость - это плоскость, заданная исходным уравнением (α), а вторая плоскость - это плоскость, проходящая через прямую и начало координат. Вектор нормали второй плоскости можно найти как векторное произведение векторов, лежащих на прямой и вектора, лежащего на оси координат и проходящего через начало координат:

n = (1, 9, -1) × (0, 0, 0) = (0, 1, 9)

Теперь мы можем записать уравнение второй плоскости:

0·x + 1·y + 9·z = 0

Итак, уравнение плоскости, проходящей через данную прямую и начало координат, имеет вид:

0x + y + 9z = 0