Ответ:

Для знаходження третьої сторони та площі трикутника скористаємося косинусовою та площею півкола.

1. **Знаходження третьої сторони:**

Ми можемо скористатися косинусовою теоремою для трикутників:

Косинус кута між двома відомими сторонами \(a\) і \(b\) та відомою стороною \(c\) визначається як:

\[ \cos(\angle C) = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} \]

Одразу відомо, що \(\angle C = 135°\), \(a = 4 \, \text{см}\) і \(b = 5\sqrt{2} \, \text{см}\), тож ми шукаємо \(c\). Підставимо значення та вирішимо рівняння.

\[ \cos(135°) = \frac{4^2 + (5\sqrt{2})^2 - c^2}{2 \times 4 \times 5\sqrt{2}} \]

Розрахунок:

\[ c \approx 3.45 \, \text{см} \]

2. **Знаходження площі трикутника:**

Для знаходження площі трикутника можемо використати формулу площі півкола:

\[ \text{Площа} = \frac{1}{2} \times a \times b \times \sin(\angle C) \]

Підставимо відомі значення та розрахуємо площу:

\[ \text{Площа} \approx \frac{1}{2} \times 4 \times (5\sqrt{2}) \times \sin(135°) \]

Розрахунок:

\[ \text{Площа} \approx 20 \, \text{см}^2 \]