Ответ:

Уравнение cos²(2x)-acos(2x)=0 имеет два корня на промежутке [π/4; 3π/4] при a ∈ (-∞; -1) ∪ (1; +∞).

Пошаговое объяснение:

[tex]\displaystyle \cos^2(2x) - a\cos(2x) = 0[/tex]

Вынесем cos(2x) за скобки.

[tex]\displaystyle \cos(2x) \big( \cos(2x) - a\big) = 0[/tex]

Если произведение равно нулю, один из множителей должен быть равен нулю. Имеем два тригонометрических уравнения.

[tex]\cos(2x) = 0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \cos(2x)-a=0[/tex]

Предлагаю для начала проверить кол-во корней первого уравнения, которые принадлежат промежутку [π/4; 3π/4]. Тогда мы будем знать сколько корней второго уравнения должно принадлежать этому промежутку.

[tex]\displaystyle \cos(2x)=0\\\\ 2x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \ n\in \mathbb Z \ \ \Bigg| \ \cdot \frac{1}{2} \\\\ x= \frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}, \ n\in \mathbb Z \\\\\\ 1) \ n=(-1)\\\\ x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi \cdot (-1)}{2} = \frac{\pi}{4}-\frac{2\pi }{4}= -\frac{\pi}{4} \notin \bigg [\frac{\pi}{4}; \frac{3\pi}{4}\bigg] \ \times \\\\ 2) \ n=0 \\\\ x=\frac{\pi}{4} + \frac{\pi \cdot 0}{2} = \frac{\pi}{4} \in \bigg [\frac{\pi}{4}; \frac{3\pi}{4}\bigg] \ \checkmark[/tex]

[tex]\displaystyle 3) \ n=1 \\\\ x=\frac{\pi}{4} + \frac{\pi \cdot 1}{2} = \frac{\pi}{4} + \frac{2\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} \in \bigg [\frac{\pi}{4}; \frac{3\pi}{4}\bigg] \ \checkmark \\\\ 4) \ n=2 \\\\ x=\frac{\pi}{4} + \frac{\pi \cdot 2}{2} = \frac{\pi}{4} + \frac{4\pi}{4} = \frac{5\pi}{4} \notin \bigg [\frac{\pi}{4}; \frac{3\pi}{4}\bigg] \ \times[/tex]

Мы пришли к тому, что уравнение cos(2x)=0 имеет 2 корня на промежутке [π/4; 3π/4]. Тогда, чтобы уравнение cos²(2x)-acos(2x)=0 имело два корня на этом же промежутке, нам нужны такие значения а, при которых уравнение cos x - a = 0 не будет иметь корней. Найти их не сложно

[tex]\dsiplaystyle \cos x - a = 0 \\\\ \cos x = a[/tex]

Все мы помним, что уравнение вида cos x = b имеет корни только при b ∈ [-1;1]. При иных же значениях уравнение не имеет корней. Тогда:

[tex]\cos x = a\\\\ x \notin \mathbb R \ \ \text{if } \ a \in(-\infty;-1) \cup (1; +\infty)[/tex]

Мы пришли к тому, что уравнение cos²(2x)-acos(2x)=0 имеет два корня на промежутке [π/4; 3π/4] при a ∈ (-∞; -1) ∪ (1; +∞).