[tex]\sin \dfrac{\pi x}{4}=x^2-4x+5[/tex]

Преобразуем правую часть:

[tex]\sin \dfrac{\pi x}{4}=x^2-4x+4+1[/tex]

[tex]\sin \dfrac{\pi x}{4}=x^2-2\cdot x\cdot2+2^2+1[/tex]

[tex]\sin \dfrac{\pi x}{4}=(x-2)^2+1[/tex]

Так как квадрат любого выражения принимает только неотрицательные значения, то [tex](x-2)^2\geqslant 0[/tex]. Тогда:

[tex](x-2)^2+1\geqslant 1[/tex]

В левой части записан синус, а синус может принимать только значения из отрезка от -1 до 1. То есть:

[tex]-1\leqslant \sin \dfrac{\pi x}{4}\leqslant 1[/tex]

Поскольку левая часть меньше либо равна 1, а правая часть больше либо равна 1, то равенство возможно только в случае, если обе части равны 1.

Найдем, при каких значениях х правая часть равна 1:

[tex](x-2)^2+1=1[/tex]

[tex](x-2)^2=0[/tex]

[tex]x-2=0[/tex]

[tex]x=2[/tex]

Искать все значения, при которых левая часть равна 1 смысла не имеет. Достаточно проверить, равна ли 1 левая часть при том значении х, при котором правая часть равна 1.

Находим значение левой части при x=2:

[tex]\sin \dfrac{2\pi}{4}=\sin \dfrac{\pi}{2}=1[/tex]

При х=2 левая часть, как и правая равна 1. Значит, х=2 - корень уравнения.

Ответ: x=2