Verified answer

Ответ:

1.Оскільки в прямокутному трикутнику один із кутів дорівнює 90 градусам, то сума двох інших кутів дорівнює 90 градусам. Якщо один з цих кутів дорівнює 30 градусам, то інший кут дорівнює:

90° - 30° = 60°

Отже, гострий кут прямокутного трикутника дорівнює 60 градусам.

2.

1)Нехай один з гострих кутів прямокутного трикутника має градусну міру x, а інший кут має градусну міру y. За умовою задачі, один із цих кутів у 4 рази більше за інший. Можна записати систему рівнянь:

x = 4y, (1)

x + y = 90. (2)

Підставляючи (1) в (2), отримуємо:

4y + y = 90,

5y = 90,

y = 18.

Таким чином, другий кут прямокутного трикутника має градусну міру 18 градусів. Застосовуючи (1), знаходимо, що перший кут має градусну міру 4 * 18 = 72 градуси. Отже, гострі кути прямокутного трикутника дорівнюють 72° та 18°

2)Нехай один з гострих кутів прямокутного трикутника має градусну міру x, а інший кут має градусну міру y. За умовою задачі, один із цих кутів на 16 градусів менший за інший. Можна записати систему рівнянь:

x = y - 16, (1)

x + y = 90. (2)

Підставляючи (1) в (2), отримуємо:

y - 16 + y = 90,

2y = 106,

y = 53.

Таким чином, другий кут прямокутного трикутника має градусну міру 53 градуси. Застосовуючи (1), знаходимо, що перший кут має градусну міру 53 - 16 = 37 градусів. Отже, гострі кути прямокутного трикутника дорівнюють 37° та 53°

3)Нехай один з гострих кутів прямокутного трикутника має градусну міру x, а інший кут має градусну міру y. За умовою задачі, градусні міри цих кутів відносяться як 5 до 4. Можна записати систему рівнянь:

x/y = 5/4, (1)

x + y = 90. (2)

З (1) можна виразити один з кутів через інший:

x = 5y/4.

Підставляючи це вираз у (2), отримуємо:

5y/4 + y = 90,

9y/4 = 90,

y = 40.

Таким чином, другий кут прямокутного трикутника має градусну міру 40 градусів. Застосовуючи (1), знаходимо, що перший кут має градусну міру 5/4 * 40 = 50 градусів. Отже, гострі кути прямокутного трикутника дорівнюють 50° та 40°.

3.У прямокутному трикутнику бісектриса прямого кута є медіаною та бисектрисою для гіпотенузи, тому вона ділить прямий кут на два рівні кути. Отже, більший з кутів, що утворює бісектриса прямого кута трикутника з гіпотенузою, дорівнює 45°.

Аби це показати, позначимо більший з гострих кутів трикутника як А, а другий гострий кут як В. Оскільки трикутник прямокутний, то А+В=90°. За теоремою про бісектрису, діляч прямий кут трикутника на два рівні кути, бісектриса СВ ділить сторону АС відповідного трикутника на відрізки АС та ВС, що становлять пропорцію:

AC/BC = AB/BV,

або, підставляючи відомі довжини сторін:

a/c = c/(b - c),

де а та b - катети прямокутного трикутника, а c - гіпотенуза.

Звідси отримуємо:

a(b-c) = c^2,

або

a/b = c/(a+c).

Оскільки АС - бісектриса, то АС ділить кут АСВ навпіл, тому кути САВ та СВА є рівними. Отже, кут ВСА дорівнює 68/2 = 34 градусам, і за теоремою синусів, маємо:

sin(45)/c = sin(34)/a,

або

a/c = sin(34)/sin(45).

Підставляючи вираз для a/b з попереднього кроку, отримуємо:

sin(45)/sin(34) = (a+c)/c,

або

a/c = sin(34)/sin(45 + 34) = sin(34)/sin(79).

Звідси можна знайти, що А=90 - 2АСВ = 90 - 2arctg(a/c) = 90 - 2arctg(sin(34)/sin(79)) ≈ 54.4°. Таким чином, більший з кутів, що утворює бісектриса прямого кута трикутника