Ответ:

⁸√tg(x)+¹⁰√(cos(x)+1)=0

Выражение под корнем должно быть положительным

{ tg(x)>0

{ cos(x)+1>0 cos(x)>-1 x∈ℝ

cos ( косинус ) всегда больше -1 потому что область значения косинуса равна [ -1 1 ]

Остаётся только

tg(x)>0 x∈[ πk , π/2+πk ) k∈ℤ

Решаем уравнение

⁸√tg(x)= -¹⁰√(cos(x)+1)

Правая часть уравнения всегда отрицательна

А левая всегда положительна

Из этого выходит что этр равенство выполняется только и только когда две части равенство равны нулю

{ ⁸√tg(x)=0 { tg(x)=0 { x=πn , n∈ℤ

{ ¹⁰√(cos(x)+1)=0 { cos(x)= -1 { x=π+2πp , p∈ℤ

Общий ответ системы это

x = π+2πp , p∈ℤ

Ответ : x = π+2πp , p∈ℤ