[tex]3+acos^2x+4sinx\cdot cosx=0\\\\3=3sin^2x+3cos^2x\\\\3sin^2x+4sinx\cdot cosx+(3+a)cos^2x=0\\\\3tg^2x+4tgx+(3+a)=0[/tex]

получили квадратное уравнение относительно tgx.

Коэффициент при [tex]tg^2x[/tex]   равен 3 >0

Значит, уравнение не имеет корней при

D < 0

D=4²-4·3·(3+a)=16-48-12a=-32-12a

[tex]-32-12a < 0\\\\-12a < 32\\\\a > -\frac{8}{3}[/tex]

Ответ. [tex](-\frac{8}{3};+\infty)[/tex]