Verified answer

Дано

[tex]\displaystyle y``+7y`+12y=0[/tex]

составим характеристическое уравнение

[tex]\displaystyle k^2+7k+12=0\\\\D=49-48=1\\\\k_{1.2}=\frac{-7 \pm 1}{2}\\\\k_1=-4; k_2=-3[/tex]

тогда общее решение

[tex]\displaystyle y=C_1*e^{-4x}+C_2*e^{-3x}[/tex]

теперь частное решение при условии

[tex]\displaystyle y(0)=1; y`(0)=-2[/tex]

[tex]\displaystyle y(0)=C_1*e^{-4*0}+C_2*e^{-3*0}=C_1+C_2=1[/tex]

[tex]\displaystyle y`(0)=-4C_1*e^{-4*0}-3C_2*e^{-3*0}=-4C_1-3C_2=-2\\\\\left \{ {{C_1+C_2=1} \atop {-4C_1-3C_2=-2}} \right.[/tex]

[tex]\displaystyle C_1=1-C_2\\\\-4(1-C_2)-3C_2=-2\\\\-4+4C_2-3C_2=-2\\\\C_2=2; C_1=1-2=-1[/tex]

частное решение

[tex]\displaystyle y=-e^{-4x}+2*e^{-3x}[/tex]