Основное тригонометрическое тождество:

[tex]\sin^2x+\cos^2x=1[/tex]

Следствие из него, получаемое путем деления обеих частей тождества на [tex]\cos^2x\neq 0[/tex]:

[tex]\mathrm{tg}^2x+1=\dfrac{1}{\cos^2x}[/tex]

Выразим тангенс:

[tex]\mathrm{tg}^2x=\dfrac{1}{\cos^2x}-1[/tex]

Учитывая, что [tex]90^\circ < x < 180^\circ[/tex], то угол [tex]x[/tex] принадлежит второй четверти, где тангенс отрицательный. Тогда:

[tex]\mathrm{tg}\,x=-\sqrt{\dfrac{1}{\cos^2x}-1}[/tex]

Подставим известное значение:

[tex]\mathrm{tg}\,x=-\sqrt{1:\left(-\dfrac{4}{5}\right)^2-1}=-\sqrt{1:\dfrac{16}{25}-1}=-\sqrt{\dfrac{25}{16}-1}=-\sqrt{\dfrac{9}{16}}=-\dfrac{3}{4}[/tex]

Ответ: -3/4