Ответ:

15 ед.

Объяснение:

В остроугольном треугольнике АВС проведена высота АН  и биссектриса ВМ . Точка пересечения биссектрисы ВМ и высоты АН делит высоту в отношении 5 : 3, считая от точки А. Определить радиус окружности, описанной около  данного треугольника, если АС =24.

Пусть дан Δ АВС - остроугольный. АН - высота , ВМ - биссектриса ,

АН ∩ ВМ = О. По условию АО: ОН = 5: 3.

Рассмотрим ΔАНВ  - прямоугольный. ВО - биссектриса данного треугольника.

Воспользуемся свойством биссектрисы треугольника: биссектриса треугольника делит сторону  треугольника на отрезки пропорциональные двум другим сторонам треугольника, то есть

[tex]\dfrac{BH }{BA } =\dfrac{OH}{OA} ;\\\\\dfrac{BH }{BA } =\dfrac{3}{5}[/tex]

Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.

[tex]cos \angle{} B = \dfrac{BH}{BA } ;\\\\cos \angle{} B = \dfrac{3}{5 } =0,6[/tex]

Радиус окружности, описанной около треугольника, определяется по формуле:

[tex]R =\dfrac{a}{sin\alpha } ,[/tex] где а - сторона треугольника, а α - противолежащий угол.

Значит,

[tex]R =\dfrac{AC }{2sin\angle{} B }[/tex]

Найдем синус угла, для этого воспользуемся основным тригонометрическим тождеством

[tex]sin^{2} \alpha +cos^{2} \alpha =1[/tex]

[tex]sin \angle{} B= \sqrt{1-cos ^{2}\angle{} B } ;\\sin \angle{} B=\sqrt{1- (0,6)^{2} } =\sqrt{1-0,36} =\sqrt{0,64} =0,8[/tex]

Тогда найдем радиус окружности

[tex]R =\dfrac{24 }{2\cdot 0,8 }=\dfrac{12}{0,8} =\dfrac{120}{8} =15[/tex]

#SPJ1