Ответ:   x = 10

Объяснение:

[tex]\sqrt[3]{x-2}+\sqrt{x-1} = 5[/tex]

ОДЗ :

x ≥ 1

Введем замену

[tex]x - 2 = t^3 \\\\ x - 1 = t^3 +1[/tex]

[tex]\sqrt[3]{t^3} + \sqrt{t^3 +1} =5 \\\\ (\sqrt{t^3 +1})^2 = (5-t)^2 \\\\ t^3 +1 = t^2 - 10 t + 25 \\\\ t^3 -t^2 + 10t -24 =0[/tex]

Методом подбора  находим  t  = 2

И далее применяем схему  Горнера

[tex]\large \begin{array} {c|c|c|c|c|c|} \bold {2} & \stackrel{\pmb{t^3}}{1} & \stackrel{\pmb{t^2}}{-1} & \stackrel{\pmb{t}}{10} & \stackrel{\pmb{1}}{-24} & \cline{7 - 12} & & 2&2&24& \cline {7-12} & & \bf 1&\bf 12&\bf 0&\cline {7-12} \end{array}[/tex]

Таким образом :

[tex]t^3 -t^2 + 10t -24 =(t-2)(t^2+t+12)[/tex]

У второй скобки

D = 1 - 48 <  0

Таким образом , подставляем    x - 2 = t³  = 2³

x  - 2 = 8

x = 10

Вышло что уравнение имеет единственный  корень

x = 10