КРУГИ ЭЙЛЕРА!
58 человек ежедневно добираются на работу общественным транспортом: на автобусе, или на метро. Каждый пользуется хотя бы одним из видов транспорта. 42 человека из них используют метро, 32- трамвай, 44 автобус. 21 человек из них используют метро и трамвай, 31 метро и автобус, 22-трамвай и автобус. Сколько среди них человек, которые используют все три вида транспорта, чтобы добраться на работу?
58 человек ежедневно добираются на работу общественным транспортом: на автобусе, или на метро. Каждый пользуется хотя бы одним из видов транспорта. 42 человека из них используют метро, 32- трамвай, 44 автобус. 21 человек из них используют метро и трамвай, 31 метро и автобус, 22-трамвай и автобус. Сколько среди них человек, которые используют все три вида транспорта, чтобы добраться на работу?
More Questions From This User See All
Answers & Comments
Verified answer
Обозначим:
[tex]A[/tex] - множество людей, использующих автобус
[tex]M[/tex] - множество людей, использующих метро
[tex]T[/tex] - множество людей, использующих трамвай
[tex]A\cap M[/tex] - множество людей, использующих автобус и метро
[tex]A\cap T[/tex] - множество людей, использующих автобус и трамвай
[tex]M\cap T[/tex] - множество людей, использующих метро и трамвай
[tex]A\cup M\cup T[/tex] - множество людей, использующих или автобус или метро или трамвай
Нас интересует следующее множество:
[tex]A\cap M\cap T[/tex] - множество людей, использующих и автобус и метро и трамвай
По условию:
[tex]|A|=44;\ |M|=42;\ |T|=32;[/tex]
[tex]|A\cap M|=31;\ |A\cap T|=22;\ |M\cap T|=11;[/tex]
[tex]|A\cup M\cup T|=58[/tex]
Формула включений-исключений:
[tex]|A\cup M\cup T|=|A|+|M|+|T|-|A\cap M|-|A\cap T|-|M\cap T|+|A\cap M\cap T|[/tex]
Отсюда:
[tex]|A\cap M\cap T|=|A\cup M\cup T|-|A|-|M|-|T|+|A\cap M|+|A\cap T|+|M\cap T|[/tex]
Получим:
[tex]|A\cap M\cap T|=58-44-42-32+31+22+21=14[/tex]
Ответ: 14 человек используют все три вида транспорта
Примерный подсчет с использованием кругов Эйлера показан на картинке.
Зеленый цвет - часть учтена 1 раз
Белый цвет - часть не учтена
Розовый цвет - часть отнята 1 раз
Красный цвет - часть отнята 2 раза
Описание картинок:
1) Взято объединение трех множеств.
2) Отняли первое множество (круг).
3) Отняли второе множество (квадрат).
4) Отняли третье множество (треугольник).
Видно, что некоторые части (пересечения двух множеств) мы отняли лишний раз, а одну часть (пересечение трех множеств) мы лишний раз отняли дважды. Эти части нужно каким-то образом вернуть.
5) Добавили пересечение первого и второго множества (круга и квадрата).
6) Добавили пересечение первого и третьего множества (круга и треугольника).
7) Добавили пересечение второго и третьего множества (квадрата и треугольника).
В результата получено только пересечение трех множеств, которое нам и требуется.
Таким образом, действительно, от мощности объединения трех множеств нужно вычесть мощность каждого множества, а затем добавить мощность каждого попарного пересечения.