Verified answer

Ответ:

[tex](x_1;y_1)=(7;3) \\ (x_2;y_2)=(6;2) [/tex]

Объяснение:

[tex]\left. \begin{cases} { \log _8( x+y ) + \log_8 ( 7-y ) =1+ \log_85 } \\ {2^{ \log_2 ( x-y ) }=4 } \end{cases} \right.[/tex]

Преобразуем отдельно оба уравнения.

Первое уравнение:

[tex]\log _8( x+y ) + \log_8 ( 7-y ) =1+ \log_85[/tex]

Для левой части применим формулу [tex]\log_abc = \log _ab + \log_ac [/tex] , а в правой части заменим единицу по формуле [tex] \log_aa=1 [/tex]:

[tex]\log_8(x+y)(7-y)=\log_88+\log_85[/tex]

Для правой части тоже применим формулу [tex]\log_abc = \log _ab + \log_ac [/tex]:

[tex]\log_8(x+y)(7-y)=\log_8{40}[/tex]

Равны основания логарифмов обеих частей уравнения , а значит , равны и их аргументы:

[tex](x + y)(7 - y) = 40[/tex]

Второе уравнение:

[tex]2^{ \log_2 ( x-y ) }=4[/tex]

Представим 4 в виде степени , с основанием как и в левой части:

[tex]2^{ \log_2 ( x-y ) }=2 {}^{2} [/tex]

Равны основания степеней обеих частей уравнения , а значит , равны и их показатели:

[tex]\log_2 ( x-y ) =2[/tex]

Используем определение логарифма [tex] \log_ab=c\Rightarrow a^c=b [/tex]:

[tex]2 {}^{2} = x-y \\ x - y = 4[/tex]

Выполнив преобразования - пришли к такой системе:

[tex]\left. \begin{cases} {(x+y)(7-y)=40 } \\ { x-y = 4 } \end{cases} \right.\left. \begin{cases} {7x - xy + 7y-y ^{2} =40 } \\ { x-y = 4 } \end{cases} \right.[/tex]

Решим методом подстановки.

Выразим из второго уравнения х :

[tex]x - y = 4 \\ x = 4 + y[/tex]

Подставим в место х в первом уравнении:

[tex]7(4 + y) - y(4 + y) + 7y - y {}^{2} = 40 \\ 28 + 7y - 4y - y {}^{2} + 7y - y {}^{2} - 40 = 0 \\ - 2y {}^{2} + 10y - 12 = 0|:(-2) \\ y {}^{2} - 5y + 6 = 0 [/tex]

Решаем кв.уравнение через дискриминант:

[tex]D=(-5)^2-4\cdot6=25-24=1 \\ y_{1,2}=\frac{5\pm1}{2} \\ \Rightarrow y_1=3~~~~~~~~y_2=2 [/tex]

Теперь подставляем эти числа в место у во втором уравнении из системы и находим х:

[tex]x - 3 = 4 \\ x_1 = 7 \\ \\ x - 2 = 4 \\ x_2 = 6[/tex]

Ответ: [tex] (x_1;y_1)=(7;3) \\ (x_2;y_2)=(6;2) [/tex]