Для решения данного дифференциального уравнения методом Лагранжа необходимо сначала вычислить производную относительно переменной x от левой и правой частей уравнения:
y' + 2y/x = x³
(y' + 2y/x)' = (x³)'
y'' - 2y/x² + 2y/x² = 3x²
y'' = 2y/x² - 3x²
Затем заменяем в полученном уравнении y'' на u и x на t:
u = 2y/t² - 3t²
t = e^s
Используя цепное правило дифференцирования, находим производные:
u' = (2y'/t²) - (4y/t³) - 6t
u'' = (2y''/t²) - (4y'/t³) - (12y/t⁴) - 6
Подставляем найденные производные в выражение для u'' и получаем дифференциальное уравнение Лагранжа:
(2y''/t²) - (4y'/t³) - (12y/t⁴) - 6 = 0
Для решения уравнения методом Бернулли необходимо сначала привести его к виду, когда он содержит произведение y и y'. Для этого умножаем обе части уравнения на x²:
x² y' + 2x y = x⁵ y
Переносим все члены, содержащие y, в левую часть, а все члены, содержащие y', в правую часть:
x² y' - x⁵ y = -2x y
Домножаем обе части уравнения на x^(-5) и заменяем y' на dy/dx:
y'/y = -2/x + 1/x³
Умножаем обе части уравнения на y³:
y³ y'/y = -2y²/x + y²/x³
Проводим замену u = y² и заменяем y' на du/dx:
u' = -4x⁻¹ u + 2x⁻³ u
Делаем замену t = x² и находим производные:
u' = (du/dt)(dt/dx) = 2x u'
u'' = (d²u/dt²)(dt/dx)² + (du/dt)(d²t/dx²)
Подставляем найденные производные и связываем их с начальным уравнением:
2x u' = -8t⁻¹ u + 4t⁻³ u
2x u'' = -8t⁻¹ u' - 8t⁻² u + 4t⁻³ u'
Таким образом, дифференциальное уравнение Бернулли принимает вид:
Answers & Comments
Verified answer
Відповідь:
Для решения данного дифференциального уравнения методом Лагранжа необходимо сначала вычислить производную относительно переменной x от левой и правой частей уравнения:
y' + 2y/x = x³
(y' + 2y/x)' = (x³)'
y'' - 2y/x² + 2y/x² = 3x²
y'' = 2y/x² - 3x²
Затем заменяем в полученном уравнении y'' на u и x на t:
u = 2y/t² - 3t²
t = e^s
Используя цепное правило дифференцирования, находим производные:
u' = (2y'/t²) - (4y/t³) - 6t
u'' = (2y''/t²) - (4y'/t³) - (12y/t⁴) - 6
Подставляем найденные производные в выражение для u'' и получаем дифференциальное уравнение Лагранжа:
(2y''/t²) - (4y'/t³) - (12y/t⁴) - 6 = 0
Для решения уравнения методом Бернулли необходимо сначала привести его к виду, когда он содержит произведение y и y'. Для этого умножаем обе части уравнения на x²:
x² y' + 2x y = x⁵ y
Переносим все члены, содержащие y, в левую часть, а все члены, содержащие y', в правую часть:
x² y' - x⁵ y = -2x y
Домножаем обе части уравнения на x^(-5) и заменяем y' на dy/dx:
y'/y = -2/x + 1/x³
Умножаем обе части уравнения на y³:
y³ y'/y = -2y²/x + y²/x³
Проводим замену u = y² и заменяем y' на du/dx:
u' = -4x⁻¹ u + 2x⁻³ u
Делаем замену t = x² и находим производные:
u' = (du/dt)(dt/dx) = 2x u'
u'' = (d²u/dt²)(dt/dx)² + (du/dt)(d²t/dx²)
Подставляем найденные производные и связываем их с начальным уравнением:
2x u' = -8t⁻¹ u + 4t⁻³ u
2x u'' = -8t⁻¹ u' - 8t⁻² u + 4t⁻³ u'
Таким образом, дифференциальное уравнение Бернулли принимает вид:
2x u'' + 8t⁻
Покрокове пояснення: