Verified answer

Ответ:

Площадь треугольника равна 1061 см².

Объяснение:

Найдите площадь треугольника ∆АВС. АС=60см; АВ=36см; ∠С:∠В=1:2.

Дано: ∆АВС;

АС=60см; АВ=36см;

∠С:∠В=1:2

Найти: S(ABC)

Решение:

Пусть ∠С = х; тогда ∠В = 2х.

• Теорема синусов - стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

[tex]\displaystyle \frac{AB}{sin\;x} =\frac{AC}{sin\;2x} \\\\\frac{36}{sin\;x}=\frac{60}{sin\;2x}\\ \\ 36\cdot sin\;2x=60\cdot sin\;x\\\\36\cdot 2sin\;x\;cos\;x=60\;sin\;x\;\;\;\;\;|:sin\;x,\;sin\;x\neq 0\\\\72\;cos\;x=60\\\\cos\;x=\frac{60}{72}=\frac{5}{6}[/tex]

Найдем СВ. Пусть СВ = а.

• Теорема косинусов - квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.

[tex]\displaystyle AB^2=AC^2+CB^2-2\cdot AC\cdot CB\cdot cos\;x\\ \\ 1296=3600+a^2-2\cdot 60\cdot a \cdot \frac{5}{6}[/tex]

[tex]\displaystyle a^2-100a+2304=0\\\\\sqrt{D}=\sqrt{10000-9216}=28\\ \\ a_1=\frac{100+28}{2}=64;\;\;\;\;\;a_2=\frac{100-28}{2}=36[/tex].

Предположим, что ВС = 36 см, тогда ΔАВС - равнобедренный.

• Углы при основании равнобедренного треугольника равны.

⇒ ∠С = ∠А = х;   ∠В = 2х (условие)

• Сумма углов треугольника равна 180°.

4х = 180°   ⇒   х = 45°;  ∠В = 2х = 90°

Тогда по теореме Пифагора:

СВ² + АВ² = АС²  

1296 + 1296 ≠ 3600

⇒ Данное предположение неверно. Такого треугольника не существует.

Поэтому СВ = 64 см.

• По формуле Герона вычислим площадь:

              [tex]\displaystyle \bf S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}[/tex] ,

где р - полупериметр, a, b, c - стороны треугольника.

р = (АВ + ВС + АС) : 2 = (60 + 36 + 64) : 2 = 80 (см)

[tex]\displaystyle S=\sqrt{80(80-60)(80-36)(80-64)}=\sqrt{20\cdot4\cdot20\cdot 4\cdot 11\cdot16} =\\\\=20\cdot 4 \cdot4\cdot\sqrt{11} =320\sqrt{11} \approx 1061\;_{(CM^2)}[/tex]

Площадь треугольника равна 1061 см².