Ответ:

Объем конуса равен [tex]\displaystyle \frac{4\sqrt{3} }{9}\pi[/tex] ед.³

Объяснение:

Найти объем конуса.

Дано: Конус;

АВ - хорда основания;

◡АВ = 60°;

С - середина хорды АВ;

∠КСО = 60°;

КО = √3 - высота.

Найти: V конуса.

Решение:

Объем конуса найдем по формуле:

[tex]\displaystyle \boxed { V=\frac{1}{3}\pi R^2h }[/tex] , где R - радиус основания; h - высота конуса.

h = KO = √3 (условие)

Необходимо найти радиус.

1. Рассмотрим ΔСКО - прямоугольный.

∠КСО = 60°

• Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.

⇒ ∠СКО = 90° - ∠КСО = 90° - 60° = 30°

• Катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.

⇒ КС = 2 СО

Пусть СО = х, тогда КС = 2х

По теореме Пифагора:

КС² = СО² + КО²

4х² = х² + 3

3х² = 3

х = 1

Получили СО = 1.

2. Рассмотрим ΔАОВ.

АО = ОВ = R

⇒ ΔАОВ - равнобедренный.

• Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается.

⇒ ∠АОВ = ◡АВ = 60°

АС = СВ (условие)

⇒ ОС - медиана.

• В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является высотой и биссектрисой.

⇒ ОС - высота, биссектриса.

3. Рассмотрим ΔСОВ - прямоугольный.

∠СОВ = 60° : 2 = 30° (СО - биссектриса)

⇒ ОВ = 2 СВ

Пусть СВ = а, тогда ОВ = 2а

По теореме Пифагора:

ОВ² = ОС² + СВ²

4а² = 1 + а²

3а² = 1

[tex]\displaystyle a=\frac{1}{\sqrt{3} }[/tex]

Получили

[tex]\displaystyle OB = 2a = \frac{2}{\sqrt{3} }=R[/tex]

4. Теперь можем найти объем конуса:

[tex]\displaystyle V = \frac{1}{3}\pi \cdot{\frac{4}{3} \cdot\sqrt{3} } =\frac{4\sqrt{3} }{9}\pi[/tex]

Объем конуса равен [tex]\displaystyle \frac{4\sqrt{3} }{9}\pi[/tex] ед.³