Verified answer

ОтветОтвет:

n = 5

Объяснение:

Дано: b₃ – b₁ = 8, b₆ – b₄ = 216, Sₙ = 121

Найти: n - ?

⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀Решение

• Составим систему.

[tex]\displaystyle \left. \begin{cases} { b_3-b_1=8 } \\ { b_6-b_4=216 } \end{cases} \right.[/tex]

• Воспользуемся формулой n-го члена геометрической прогрессии: [tex]\displaystyle\boxed{\tt b_n=b_1\:*\:q^{n-1}}[/tex]

[tex]\displaystyle b_3 = b_1\:*\: q^{2}[/tex]

[tex]\displaystyle b_6=b_1\:*\:q^{5}[/tex]

[tex]\displaystyle b_4 = b_1 \:*\: q^{3}[/tex]

• Теперь переходим к системе.

[tex]\left. \begin{cases} { b_1\:*\:q^{2}-b_1=8 } \\ {b_1\:*\:q^{5}-b_1\:*\:q^{3}=216 } \end{cases} \right.\\[/tex]

• В первой уравнении вынесем за скобки b₁, во второй b₁ * q³.

[tex]\left. \begin{cases} { b_1(q^{2}-1)=8 } \\ {b_1q^{3}(q^{2}-1)=216 } \end{cases} \right.\\[/tex]

• Делим второе уравнение на первое и получим:

[tex]\displaystyle q^{3}=27[/tex]

[tex]\displaystyle q= \sqrt[3]{27} [/tex]

[tex]\displaystyle q=3[/tex]

• Чтобы найти первый член(b₁) подставим знаменатель в первое уравнение, либо во второе. Я предпочту первое.

[tex]\displaystyle b_1 \:*\: 3^{2}-b_1=8[/tex]

[tex]\displaystyle b_1 \:*\: 9-b_1=8[/tex]

[tex]\displaystyle 9b_1 -b_1=8[/tex]

[tex]\displaystyle 8b_1 =8 |:8[/tex]

[tex]\displaystyle b_1 =1[/tex]

• Теперь с помощью формулы суммы n первых членов геометрической прогрессии найдем число членов нашей прогрессии.[tex]\displaystyle \boxed{\tt S_n = \frac{b_1(q^{n}-1)}{q - 1}}[/tex]

[tex]\displaystyle 121 = \frac{1(3^{n}-1)}{3 - 1}[/tex]

[tex]\displaystyle 121 = \frac{3^{n}-1}{2}[/tex]

[tex]\displaystyle 121 \:*\:2= 3^{n}-1[/tex]

[tex]\displaystyle 242= 3^{n}-1[/tex]

[tex]\displaystyle 242+1= 3^{n}[/tex]

[tex]\displaystyle 243= 3^{n}[/tex]

• Теперь стоит задуматься, 3 в какой степени даст 243. Конечно же в 5 - ой степени.

[tex]\displaystyle 3^{5}= 3^{n}[/tex]

[tex]\displaystyle \bf n= 5[/tex]