Ответ:

Решить уравнение   [tex]\bf 5sinx-5cosx=sin2x+5[/tex]  

 [tex]\bf 5\, (sinx-cosx)=2sinx\cdot cosx+5[/tex]  

Обозначим разность  [tex]\bf sinx-cosx=t[/tex]  , тогда

 [tex]\bf t^2=(sinx-cosx)^2\ \ ,\ \ \ t^2=sin^2x-2sinx\cdot cosx+cos^2x\ \ \Rightarrow \\\\t^2=1-2sinx\cdot cosx\ \ ,\ \ \ 2sinx\cdot cosx=1-t^2[/tex]  

Запишем уравнение через новую переменную  t .

[tex]\bf 5\, t=(1-t^2)+5\ \ \to \ \ \ t^2+5t-6=0\ \ ,\ \ t_1=-6\ ,\ t_2=1\ \ (Viet)[/tex]  

Вернёмся к старой переменной.

[tex]\displaystyle \bf a)\ \ sinx-cosx=-6\ \ \Big|:\sqrt2\\\\\frac{1}{\sqrt2}\cdot sinx-\dfrac{1}{\sqrt2}\cdot cosx=-\frac{6}{\sqrt2}\\\\cos\frac{\pi }{4}\cdot sinx-sin\frac{\pi }{4}\cdot cosx=-\frac{6}{\sqrt2}\\\\\\sin(x-\frac{\pi}{4})=-\frac{6}{\sqrt2} < -1\ \ \ \Rightarrow \ \ \ x\in \varnothing[/tex]  

Нет решений , так как функция  у=sinx  не принимает значения,

меньшие  -1 .

[tex]\bf b)\ \ sinx-cosx=1\ \ \ \Rightarrow \ \ \ sin(x-\dfrac{\pi }{4})=\dfrac{1}{\sqrt2}\\\\x-\dfrac{\pi }{4}=\dfrac{\pi }{4}+2\pi n\ \ ,\ n\in Z\ \ \ \ \. ili\qquad \ \ x-\dfrac{\pi }{4}=\dfrac{3\pi }{4}+2\pi n\ \ ,\ n\in Z\\\\x=\dfrac{\pi }{2}+2\pi n\ \ ,\ n\in Z\qquad \ \ \ \ ili\qquad \ \ x=\pi +2\pi n\ \ ,\ n\in Z[/tex]  

c)  Наибольший отрицательный корень  в каждoй серии решений получим при  n = -1  ,  то есть  это

[tex]\bf x=\dfrac{\pi }{2}-2\pi =-\dfrac{3\pi }{2}[/tex]        ,      [tex]\bf x=\pi -2\pi =-\pi[/tex]   .  

Наибольшим отрицательным корнем уравнения будет  [tex]\boldsymbol{x=-\pi }[/tex]   .

Ответ:  [tex]\boldsymbol{x=-\pi }[/tex]   .