Verified answer

Ответ:

Расстояние от точки М до сторон треугольника равно 5 см.

Объяснение:

В ΔАВС ∠С = 90°.

Пусть АВ = х см, тогда АС = (х - 6) см, ВС = (х - 3) см.

По теореме Пифагора:

AB² = AC² + BC²

x² = (x - 6)² + (x - 3)²

x² = x² - 12x + 36 + x² - 6x + 9

x² - 18x + 45 = 0

По теореме, обратной теореме Виета,

х₁ = 3 - не подходит, так как гипотенуза на 6 см больше катета АС.

х₂ = 15

АВ = 15 см,  АС = 9 см, ВС = 12 см

Проведем МО⊥(АВС), МО = 4 см - расстояние от точки М до плоскости треугольника.

Проведем из точки М перпендикуляры к сторонам треугольника: МК, МН и МР. Тогда ОК, ОН и ОР - проекции соответствующих наклонных на плоскость треугольника, значит

ОК⊥АВ, ОН⊥АС и ОР⊥ВС по теореме, обратной теореме о трех перпендикулярах.

ΔМОК = ΔМОН = ΔМОР по катету и гипотенузе:

• ∠МОК = ∠МОН = ∠МОР = 90°;
• МО - общий катет;
• МК = МН = МР по условию (расстояния от точки М до сторон треугольника).

Из равенства треугольников следует, что ОК = ОН = ОР.

• Если точка О равноудалена от сторон треугольника, то она является центром вписанной окружности. ОН = ОК = ОР = r - ее радиусы.

• В прямоугольном треугольнике радиус вписанной окружности можно найти как разность полупериметра и гипотенузы:

r = p - АВ = (АВ + АС + ВС)/2 - АВ = (15 + 9 + 12)/2 - 15 = 18 - 15 = 3 см

Из прямоугольного треугольника МОН по теореме Пифагора:

МН = √(МО² + ОН²) = √(4² + 3²) = √(16 + 9) = √25 = 5 см